Doppia sommatoria

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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FedeX333X
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Doppia sommatoria

Messaggio da FedeX333X » 16 ago 2017, 23:16

Calcolare $$\sum\limits_{i=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+i)(k+2i)}$$ Dopo un po' di passaggi, mi sono ridotto a questa sommatoria, che non so come risolvere: $$\sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} \left( \frac{1}{2} \sum\limits_{j=1}^{2i} \frac{1}{j} - \sum\limits_{k=1}^i \frac{1}{k+i}\right)$$ Esiste una soluzione (possibilmente elementare) o la sommatoria diverge a $+\infty$?

Lo posto qui perché non sono sicuro dell'esistenza (e figuramoci quindi allora dell'olimpicità) della soluzione.

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