Doppia sommatoria

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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FedeX333X
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Doppia sommatoria

Messaggio da FedeX333X » 16 ago 2017, 23:16

Calcolare $$\sum\limits_{i=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+i)(k+2i)}$$ Dopo un po' di passaggi, mi sono ridotto a questa sommatoria, che non so come risolvere: $$\sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} \left( \frac{1}{2} \sum\limits_{j=1}^{2i} \frac{1}{j} - \sum\limits_{k=1}^i \frac{1}{k+i}\right)$$ Esiste una soluzione (possibilmente elementare) o la sommatoria diverge a $+\infty$?

Lo posto qui perché non sono sicuro dell'esistenza (e figuramoci quindi allora dell'olimpicità) della soluzione.

cuboebbast
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Iscritto il: 15 giu 2019, 09:23

Re: Doppia sommatoria

Messaggio da cuboebbast » 15 giu 2019, 10:21

Qualora potesse essere utile, scrivendo in Wolfram Mathematica 12.0.0:

Codice: Seleziona tutto

num = NSum[Sum[1/(k (k + i) (k + 2 i)), {k, 1, Infinity}], {i, 1, Infinity}, WorkingPrecision -> 100];
str = {{"PossibleClosedForm", 1}, "FormulaData"};
WolframAlpha[ToString[num], str][[1, 1]]
si ottiene:

Codice: Seleziona tutto

(5 Zeta[3])/8
che è il risultato desiderato.

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