OliForum Matematico

Questo è un problema per niente olimpico e non sapevo dove metterlo, quindi spero di non aver sbagliato sezione. In ogni caso, ho provato a risolverlo per molto tempo ma non ci sono riuscito e sono molto curioso di sapere come si fa: una particella si muove lungo l'asse $x$ in modo che la sua velocità nella posizione $x$ è data dalla formula $v(x)=2+\sin x$. Qual è la sua accelerazione in $x=\dfrac{\pi}{6}$??

Ma non basta derivare? $a(x)=v'(x)=\cos x=\sqrt{3}/2$?

Boh, io sono scarso di fisica.

No, la risposta non è questa (ho i risultati), e sbagli nel fatto che la definizione di accelerazione è $a=\dfrac{dv}{dt}$ e non $\dfrac{dv}{dx}$

Usa la chain rule per fare la derivata.

Cos'è la chain rule?

Diciamo che sono lecite cose del tipo $\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$

Ho cercato su internet, e sebbene non sia pratico nell'utilizzare la notazione li Leibniz credo funzioni così: abbiamo che $$a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dv}{dx}\cdot v=(2+\sin x)'(2+ \sin x)=2 \cos x+\sin x \cos x$$ Giusto?

Vinci ha scritto: ↑14 mag 2017, 18:40 No, la risposta non è questa (ho i risultati), e sbagli nel fatto che la definizione di accelerazione è $a=\dfrac{dv}{dt}$ e non $\dfrac{dv}{dx}$

Ah ops, è vero...

Vinci ha scritto: ↑14 mag 2017, 19:33 Ho cercato su internet, e sebbene non sia pratico nell'utilizzare la notazione li Leibniz credo funzioni così: abbiamo che $$a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dv}{dx}\cdot v=(2+\sin x)'(2+ \sin x)=2 \cos x+\sin x \cos x$$ Giusto?

Credo sia giusto, ma non so quanto fidarmi di me

Chissà perché, quando si fa fisica, la matematica diventa incerta...

Tu hai una funzione $v(x)$ e in realtà sai che $x=x(t)$, dunque in realtà hai una funzione $f(t)=v(x(t))$ (funzione composta) della variabile $t$. Vuoi farne la derivata, beh niente di più semplice:
$$f'(t)=v'(x(t))x'(t)$$
ora, per arcani motivi (i.e. cinematica) sai che $v(x(t))=x'(t)$ e dunque ecco che $f'(t)=v'(x(t))v(x)$.

Non vi convince? Proviamo così: $v(t)=x'(t)$ ... so però anche che vale $v(t)=2+\sin(x(t))$, dunque $x'(t)=2+\sin(x(t))$ e da ciò derivo in $t$, ottenendo $x''(t)=\cos(x(t))x'(t)$ (regola della funzione composta) e mi ricordo che $v=x'(t)$, dunque $x''(t)=\cos(x(t))(2+\sin(x(t)))$.

Tutto chiaro, grazie mille
Comunque l'esercizio è preso dall' Harvard-MIT Mathematics Tournament del 2003