[Schemi numerici per le ODE] Stabilità lineare

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SARLANGA
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[Schemi numerici per le ODE] Stabilità lineare

Messaggio da SARLANGA » 13 mar 2017, 11:30

Ciao a tutti,
dopo tanto tanto tempo ritorno a scrivere in questo forum... prima ero un semplice studente di ingegneria, ora ho capito che la matematica non mi abbandonerà più facilmente :P
Avrei un paio di domande riguardanti gli schemi numerici che risolvono le equazioni differenziali ordinarie (ODE):
\(\displaystyle
\left\{
\begin{aligned}
&y'(t) = f(t,y(t)) , \ \ t \in [0,T]\\
&y(0) = y_{0} ,
\end{aligned}
\right.
\)

1) Perché è importante studiare la stabilità lineare di tali schemi? Cioè se ho capito bene, la nozione di assoluta stabilità per questi schemi viene fatta a partire di un problema modello di Cauchy, lineare:
\(\displaystyle
\left\{
\begin{aligned}
&y'(t) = \lambda y(t) , \ \ t \in [0,T]\\
&y(0) = y_{0} ,
\end{aligned}
\right.
\)
dove \(\displaystyle \lambda \in \mathbb{C} \), e dove la soluzione esatta è \(\displaystyle y(t) = y_{0} \exp (\lambda t) \). E per ognuno degli schemi sopra, si definisce la funzione di stabilità lineare \(\displaystyle R(z) \) e si studia la regione di assoluta stabilità \(\displaystyle \mathcal{R}_{A} \) relativa a questo problema modello (traendone indicazioni su eventuali condizioni sulla lunghezza del passo temporale \(\displaystyle h \) da usare nella discretizzazione)...
Ma quali conclusioni posso trarre sulle proprietà di stabilità di tali schemi nel caso di problemi generali più complessi, anche non lineari?

2) Qualcuno sa spiegarmi (oppure darmi indicazioni su libri da leggere) il significato del damping (smorzamento) ? Quello che so è che il fatto che la funzione di stabilità lineare sia in valore assoluto molto più piccola di 1 oppure poco più piccola di 1 (laddove lo schema è assolutamente stabile) ha qualche conseguenza... non vorrei sbagliarmi, ma mi pare che per metodi che presentano un forte damping, possa esserci un degrado dell'ordine di convergenza dello schema numerico (cioè, dell'accuratezza del metodo)... è possibile?

Grazie in anticipo per ogni risposta/suggerimento in merito ai miei dubbi,
Ciao

P.S. Io ho studiato sul libro "Matematica Numerica" (Quarteroni, Sacco, Saleri).
[quote="edriv"]chiunque prima di sapere non sa, e prima di saper fare non fa...[/quote]
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Re: [Schemi numerici per le ODE] Stabilità lineare

Messaggio da fph » 13 mar 2017, 12:00

Ciao! Questo forum si occupa di olimpiadi di matematica e argomenti collegati; il tuo invece è un argomento di matematica universitaria anche abbastanza tecnico, che dubito possa essere di interesse per la platea dei concorrenti alle olimpiadi. Quindi ti consiglierei di cercare aiuto su un forum diverso dedicato a questi argomenti.
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