Ma se potessimo esibire?

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scambret
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Ma se potessimo esibire?

Messaggio da scambret » 17 giu 2016, 14:43

Esiste una funzione $f:\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ continua tale che

$$\int_{1}^{+\infty} f(x) dx <+\infty$$

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) \neq 0$$

?
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mr96
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Re: Ma se potessimo esibire?

Messaggio da mr96 » 17 giu 2016, 15:58

La risposta dovrebbe essere no, ma ho un dubbio
Testo nascosto:
La prima via che viene in mente è applicare il criterio dell'integrale per le serie, e far vedere che il termine $n$-esimo della serie deve andare a $0$ e quindi anche la funzione, però il criterio dell'integrale prende come ipotesi che la funzione sia non crescente; ora, io la risolverei banalmente dicendo che da un certo punto in poi è per forza decrescente, infatti se così non fosse avremmo un "rettangolone" infinito sotto di essa, e della prima parte possiamo fregarcene perché essendo continua sarà una roba finita... Mi sono perso qualcosa?

scambret
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Re: Ma se potessimo esibire?

Messaggio da scambret » 17 giu 2016, 16:24

Attenzione, sai che $f(n)=a_n$ deve andare a 0, ma la funzione può fare come vuole. Poi se l'inf è >0 hai ragione, ma se l'inf=0 no.

E se vi chiedessi di avere $f$ illimitata?
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mr96
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Re: Ma se potessimo esibire?

Messaggio da mr96 » 17 giu 2016, 17:17

Ok si, penso di aver capito, allora stasera/domani posto la soluzione, sperando che sia giusta

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Re: Ma se potessimo esibire?

Messaggio da RiccardoKelso » 17 giu 2016, 20:43

scambret ha scritto: $\int_{1}^{+\infty} f(x) dx <+\infty$
Implica $\space \exists \lim_{x \to +\infty}\int_{1}^{x} f(x) dx$ e che$\space \in \mathbb{R}$?
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scambret
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Re: Ma se potessimo esibire?

Messaggio da scambret » 18 giu 2016, 00:05

Diciamo che $\int_1^{+\infty} f(x) dx = m \in \mathbb{R}$
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Re: Ma se potessimo esibire?

Messaggio da EvaristeG » 18 giu 2016, 00:45

Domanda all'autore (un po' spoilerosa)
Testo nascosto:
Con la seconda formula nel tuo primo post vuoi dire che il limite esiste e non fa 0 oppure potrebbe anche non esistere?

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Re: Ma se potessimo esibire?

Messaggio da scambret » 18 giu 2016, 16:49

@EvaristeG
Testo nascosto:
Può anche non esistere
Risposta 2 spoilerosa
Testo nascosto:
Altrimenti se il limite esiste ed è diverso da 0, credo che non esistano siffatte $f$
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Re: Ma se potessimo esibire?

Messaggio da RiccardoKelso » 18 giu 2016, 16:57

La dannatissima..
Testo nascosto:
$sen(x^2)$
?
Però non ho idea di come si dimostri
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Re: Ma se potessimo esibire?

Messaggio da mr96 » 18 giu 2016, 18:28

RiccardoKelso ha scritto:La dannatissima..
Testo nascosto:
$sen(x^2)$
?
Però non ho idea di come si dimostri
Io pensavo a
Testo nascosto:
Una roba che decresce abbastanza veloce con integrale finito + picchi attorno agli interi, e avresti che il limite non esiste poiché liminf e limsup sono diversi
Scusate se non l'ho ancora postata ma da cellulare ci metto un'eternità e non ho un pc ora :lol:

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Re: Ma se potessimo esibire?

Messaggio da EvaristeG » 18 giu 2016, 19:02

@autore: infatti la tua paura spoilerosa è fondata.

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Re: Ma se potessimo esibire?

Messaggio da RiccardoKelso » 18 giu 2016, 19:36

scambret ha scritto: E se vi chiedessi di avere $f$ illimitata?
Deve esserlo in ogni intorno di $+\infty $? Perché se così non è basta metterci un asintoto verticale nei pressi dei quale è integrabile in senso improprio (magari si riesce anche senza definirla a tratti)
mr96 ha scritto: Io pensavo a ...
Attendo ulteriori esplicazioni, detti così non mi ricorda nulla :roll:
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Re: Ma se potessimo esibire?

Messaggio da Lasker » 19 giu 2016, 10:58

Edit: sono stupido e non ho letto che il codominio era $\mathbb{R^+}$...
Più o meno mi sembra che $\int_{1}^{\infty} |\sin(x)|^x+e^{-x} \ \textrm{d}x$ funzioni, ma mi sembra discretamente fastidioso verificarlo davvero con i conti
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Re: Ma se potessimo esibire?

Messaggio da mr96 » 20 giu 2016, 02:15

Ok, eccomi, magari per l'ora tarda farò qualche boiata, perdonatemi:

Prendo $ f_1(x)=\frac{1}{x^2} $ perché mi è comodo avere qualcosa che scende in fretta e che so integrare in quell'intervallo, con integrale finito. Prendo poi $ f_2(x) $ funzione sempre nulla tranne attorno agli interi dove ha dei picchi (non punti, tipo V al contrario, per renderla continua) alti $1$ e larghi $\frac{2}{x^2}$ (così so comodamente quanto fa l'area sotto i triangoli e che converge l'integrale (e anche a cosa)), detto ciò $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$, so che l'integrale non diverge poiché quelli di $f_1$ e $f_2$ non divergono, inoltre so che non esiste il limite di $f$ poiché $\lim \inf f(x)=0$ e $\lim \sup f(x)=1$.

@RiccardoKelso: è chiaro così? Se non capisci qualcosa chiedi :)

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Re: Ma se potessimo esibire?

Messaggio da RiccardoKelso » 20 giu 2016, 10:21

Così è decisamente lampante.. A questo punto suppongo se ne possano costruire/trovare davvero tante diverse :D Però la tua è effettivamente umana da dimostrare formalmente, il che è un ottimo punto a favore :')
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