OliForum Matematico

Esiste una funzione $f:\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ continua tale che

$$\int_{1}^{+\infty} f(x) dx <+\infty$$

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) \neq 0$$

?

La risposta dovrebbe essere no, ma ho un dubbio

Attenzione, sai che $f(n)=a_n$ deve andare a 0, ma la funzione può fare come vuole. Poi se l'inf è >0 hai ragione, ma se l'inf=0 no.

E se vi chiedessi di avere $f$ illimitata?

Ok si, penso di aver capito, allora stasera/domani posto la soluzione, sperando che sia giusta

scambret ha scritto: $\int_{1}^{+\infty} f(x) dx <+\infty$

Implica $\space \exists \lim_{x \to +\infty}\int_{1}^{x} f(x) dx$ e che$\space \in \mathbb{R}$?

Diciamo che $\int_1^{+\infty} f(x) dx = m \in \mathbb{R}$

Domanda all'autore (un po' spoilerosa)

@EvaristeG Risposta 2 spoilerosa

La dannatissima.. ?
Però non ho idea di come si dimostri

RiccardoKelso ha scritto:La dannatissima..

Testo nascosto:

$sen(x^2)$

?
Però non ho idea di come si dimostri

Io pensavo a Scusate se non l'ho ancora postata ma da cellulare ci metto un'eternità e non ho un pc ora

@autore: infatti la tua paura spoilerosa è fondata.

scambret ha scritto: E se vi chiedessi di avere $f$ illimitata?

Deve esserlo in ogni intorno di $+\infty $? Perché se così non è basta metterci un asintoto verticale nei pressi dei quale è integrabile in senso improprio (magari si riesce anche senza definirla a tratti)

mr96 ha scritto: Io pensavo a ...

Attendo ulteriori esplicazioni, detti così non mi ricorda nulla

Edit: sono stupido e non ho letto che il codominio era $\mathbb{R^+}$...
Più o meno mi sembra che $\int_{1}^{\infty} |\sin(x)|^x+e^{-x} \ \textrm{d}x$ funzioni, ma mi sembra discretamente fastidioso verificarlo davvero con i conti

Ok, eccomi, magari per l'ora tarda farò qualche boiata, perdonatemi:

Prendo $ f_1(x)=\frac{1}{x^2} $ perché mi è comodo avere qualcosa che scende in fretta e che so integrare in quell'intervallo, con integrale finito. Prendo poi $ f_2(x) $ funzione sempre nulla tranne attorno agli interi dove ha dei picchi (non punti, tipo V al contrario, per renderla continua) alti $1$ e larghi $\frac{2}{x^2}$ (così so comodamente quanto fa l'area sotto i triangoli e che converge l'integrale (e anche a cosa)), detto ciò $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$, so che l'integrale non diverge poiché quelli di $f_1$ e $f_2$ non divergono, inoltre so che non esiste il limite di $f$ poiché $\lim \inf f(x)=0$ e $\lim \sup f(x)=1$.

@RiccardoKelso: è chiaro così? Se non capisci qualcosa chiedi

Così è decisamente lampante.. A questo punto suppongo se ne possano costruire/trovare davvero tante diverse Però la tua è effettivamente umana da dimostrare formalmente, il che è un ottimo punto a favore :')