La formica e la lucciola

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Luca Nalon
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La formica e la lucciola

Messaggio da Luca Nalon » 15 apr 2016, 15:39

Ho elaborato questo problema ma credo che gli strumenti di analisi che ho appreso fin'ora non siano sufficienti a risolverlo, cerco di proporvelo con una formulazione "simpatica":

Una formica ed una lucciola si trovano in un piano cartesiano. La traiettoria che descrive la posizione della lucciola al variare del tempo è $ P_l=(v_lt,1) $ dove $ v_l $ indica la velocità (costante) della lucciola. La formica, che all'istante $ t=0 $ si trova nell'origine del sistema di riferimento, attratta dalla luce emanata dalla lucciola, decide di raggiungerla con una velocità costante in modulo $ v_f>v_l $ e di direzione variabile nel tempo ma che corrisponde sempre alla retta che congiunge la posizione dei due insetti in quell'istante. Determinare la traiettoria percorsa dalla formica fino a quando non raggiunge la lucciola.

darkcrystal
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Re: La formica e la lucciola

Messaggio da darkcrystal » 18 apr 2016, 10:15

Qui c'è una soluzione, scritta un po' alla fisico ma (spero) corretta. Se qualcosa non ti torna, o vuoi chiarimenti matematici (non ho scritto proprio tutti i dettagli, il post è già abbastanza lungo), non esitare a chiedere!

Con le tue ipotesi la funzione $y=y(x)$ che descrive la traiettoria non è derivabile nell'origine, perché la formica parte con tangente verticale, quindi la derivata lì è infinita. Per semplicità scambio allora $x$ e $y$: la mia lucciola si muove con legge $(1,v_lt)$. Nel seguito $\dot{x}$ e $\dot{y}$ indicano le derivate temporali, mentre $y'$ indica la derivata $\frac{dy}{dx}$. L'idea è che vogliamo eliminare il tempo da tutta questa storia, per ritrovarci con un'equazione differenziale per $y(x)$. Osservazioni preliminari: $y(x)$ è crescente, $x(t)$ pure, quindi ogni funzione è invertibile rispetto ad ogni altra, e quindi hanno senso anche cose come $t(x)$: questa è la funzione che dice a quale tempo la formica ha una certa coordinata $x$. In particolare, ha senso la derivata $\frac{dt}{dx}=\frac{dt(x)}{dx}$.

Le ipotesi implicano le relazioni
\[
\begin{cases}
\dot{x}^2+\dot{y}^2=v_f^2 \\
(1,y'(x)) \propto (x-1, y-v_lt);
\end{cases}
\]
inoltre si ha $\dot{y} = \dot{x} y'$ (derivata della funzione composta), che combinata con la prima delle relazioni precedenti fornisce
\begin{equation}\label{eq_Speed}
\dot{x} \sqrt{1+(y')^2} = v_f \quad (1)
\end{equation}
Osservando che $\dot{x}=(\frac{dt}{dx})^{-1}$ questo ci permetterà di riscrivere certe derivate temporali in termini di derivate spaziali.

La seconda equazione, invece, si riscrive come
\[
y'(x-1)=y-v_lt;
\]
derivando ancora una volta rispetto a $x$ troviamo
\[
y''(x-1) + y' = y' - v_l \frac{dt}{dx} \stackrel{(1)}{\Longrightarrow} \frac{y''}{\sqrt{1+(y')^2}} = \frac{v_l}{v_f} (1-x)^{-1},
\]
dove siamo effettivamente riusciti a far sparire il tempo.

Sia $z(x):=y'(x)$. Notiamo che $z(0)=y'(0)=0$, perché la formica per ipotesi parte con velocità parallela all'asse $x$. Riscrivendo l'equazione precedente come
\[
\frac{z'}{\sqrt{1+z^2}} = \frac{v_l}{v_f} (1-x)^{-1}
\]
ed integrando tra $x=0$ e $x=x_0$ otteniamo la formula seguente, valida per ogni $x_0 \leq 1$ (le costanti di integrazione sono tutte nulle!):
\[
\log \left(z(x_0)+\sqrt{1+z(x_0)^2}\right) = -\frac{v_l}{v_f} \log(1-x_0).
\]
Siccome questo vale per ogni $x_0$, questa formula è una relazione tra funzioni; in altri termini, vale la relazione
\[
y' + \sqrt{1+(y')^2} = (1-x)^{-v_l/v_f}.
\]
Spostando $y'$ dall'altra parte del segno di uguaglianza ed elevando al quadrato otteniamo allora
\[
1 = -2y'(1-x)^{-v_l/v_f} + (1-x)^{-2v_l/v_f}
\]
che possiamo ulteriormente riscrivere come
\[
2y' = (1-x)^{-v_l/v_f} - (1-x)^{v_l/v_f} = 2 \sinh \left( -\frac{v_l}{v_f} \log(1-x) \right).
\]
Integrando un'ultima volta e ricordando che $y(0)=0$,
\[
2y(x) = \frac{(1-x)^{1+v_l/v_f}}{1+v_l/v_f}- \frac{(1-x)^{1-v_l/v_f}}{1-v_l/v_f} - \left( \frac{1}{1+v_l/v_f}- \frac{1}{1-v_l/v_f} \right).
\]
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