Ci provo io ma non è facile...
Il limite di $1-1+1-1+...$ non esiste, e quello di $1+2+3+4+...$ è infinito (la serie diverge), tutto qui.
Esistono alcune manipolazioni algebriche che si possono fare solo per serie convergenti, come per esempio, se $L$ è il limite di $1+x+...+x^n+...$, allora $(L-1)/x = L$, da cui si ricava $L = \frac{1}{1-x}$. A uno ora verrebbe da sostituire $x=-1$, e dedurre che $1-1+1-... = \frac{1}{2}$. Però non c'è nessun teorema che dice che si possa fare, perché se quella serie non converge non possiamo neppure dare un nome al limite, e perché ragionando nello stesso modo è facile dedurre assurdità.
Tuttavia, alcuni matematici hanno cercato di trovare modi non standard di "dare un senso" a concetti che non sarebbero ben definiti, come il limite di $1-1+1-...$. (Per esempio, se avete sentito parlare di serie formali, quelle sono un modo di dare un senso al "valore" di serie come $1-1+1-...$.) Si può fare? Sì, a patto di aver definito chiaramente quello di cui stiamo parlando, essere d'accordo che quello *non* è un limite ma un altro concetto inventato di sana pianta, e aver capito chiaramente quali manipolazioni si possono fare e quali no. Quindi il limite di $1-1+1-...$ continua a non esistere, ma se ci inventiamo una definizione nuova del tipo "limiti nel senso di fph" o "nel senso di erFuricksen", allora quella magari esiste. Questa definizione, per esempio, potrebbe per qualche arcano motivo coincidere con quella usuale di limite quando il limite esiste, ma funzionare anche in altri casi.
Questo è quello che è stato fatto per formalizzare alcune idee di teoria dei numeri, come quelle di Ramanujan (che negli anni più giovani era uno specialista nel fare conti con le serie un po' alla garibaldina senza chiedersi se convergessero o no, un po' come anche Eulero qualche secolo prima). Fatto bene, questo lavoro richiede un po' di analisi complessa, quindi non è una cosa che si può spiegare al volo in un post del forum.
In particolare, la funzione $\zeta(s)$ si costruisce in un modo simile a questo utilizzando dell'analisi complessa: è definita come l'unica funzione olomorfa che coincide con il limite di $1^{-s}+2^{-s}+3^{-s}+\dots$ quando questo esiste (cioè quando la parte reale di $s$ è maggiore di 1). Così come se volete potete definire $\frac{1}{1-x}$ come l'unica funzione infinitamente derivabile che coincide con il limite di $1+x+x^2+\dots$, quando questo esiste, cioè per $|x|<1$.. Quindi questo *non* vuol dire che $-\frac{1}{12} = \zeta(-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + \dots$, perché per $-1$ l'uguaglianza di destra non vale. In particolare, se credete di aver capito l'enunciato dell'ipotesi di Riemann e non sapete cosa vuol dire "estensione olomorfa", allora no, non l'avete capito davvero.
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E per capirlo temo che vi servano almeno tre semestri di analisi di quella che si fa all'università; scorciatoie non ce ne sono molte.