Somme Infinite Stranamente Convergenti

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erFuricksen
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Somme Infinite Stranamente Convergenti

Messaggio da erFuricksen » 12 mar 2016, 14:42

Ciao a tutti, spero di aver azzeccato sezione, volevo chiedere a qualcuno di voi se per caso riuscisse a togliermi un dubbio che ho da molto tempo e al quale non riesco a venire a capo.

Qual è il motivo formale per cui la serie geometrica di ragione -1 vale 1/2? è semplicemente il limite destro della funzione $1 \over {1-x}$ ?
Ma soprattutto, come mai $\zeta (-1) = -{1 \over 12}$???

Probabilmente le due cose non c'entrano niente una con l'altra, devo ancora capirlo, chiedo apposta per chiarire :mrgreen:
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

PIELEO13
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Re: Somme Infinite Stranamente Convergenti

Messaggio da PIELEO13 » 13 mar 2016, 14:59

Io credo che non sia vero quello che dici..
Sia $ a_0 = k $ e $ a_n = q \cdot a_{n-1} $ con $ k, q \in \mathbb{N} $, allora la serie che si forma con questa successione è:
$ \sum_{m=0}^\infty (k \cdot q^m) = \lim_{m\rightarrow \infty} k \cdot \frac{q^{m+1} - 1}{q-1} $.
Arrivati a questo punto se [math] vale la formula che hai scritto tu, e cioè $ \frac{1}{1 - q} $ perché per il limite $ q^{m+1} \rightarrow 0 $. Ma se prendi per esempio $ q = -1 $ il limite non esiste, dunque non puoi ricondurti a quella formula che usi tu.
Ho spiegato le mie motivazioni partendo molto alla lontana ahaahh però spero che sia chiaro il mio punto di vista. Se il mio ragionamento è sbagliato sta tutto nel fatto che allora è possibile fare il limite con -1, magari c'è qualcosa di più avanzato che permette di farlo e che io non conosco.. Aspetto conferma da qualcuno più esperto

fph
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Re: Somme Infinite Stranamente Convergenti

Messaggio da fph » 13 mar 2016, 16:18

Ci provo io ma non è facile...

Il limite di $1-1+1-1+...$ non esiste, e quello di $1+2+3+4+...$ è infinito (la serie diverge), tutto qui.

Esistono alcune manipolazioni algebriche che si possono fare solo per serie convergenti, come per esempio, se $L$ è il limite di $1+x+...+x^n+...$, allora $(L-1)/x = L$, da cui si ricava $L = \frac{1}{1-x}$. A uno ora verrebbe da sostituire $x=-1$, e dedurre che $1-1+1-... = \frac{1}{2}$. Però non c'è nessun teorema che dice che si possa fare, perché se quella serie non converge non possiamo neppure dare un nome al limite, e perché ragionando nello stesso modo è facile dedurre assurdità.

Tuttavia, alcuni matematici hanno cercato di trovare modi non standard di "dare un senso" a concetti che non sarebbero ben definiti, come il limite di $1-1+1-...$. (Per esempio, se avete sentito parlare di serie formali, quelle sono un modo di dare un senso al "valore" di serie come $1-1+1-...$.) Si può fare? Sì, a patto di aver definito chiaramente quello di cui stiamo parlando, essere d'accordo che quello *non* è un limite ma un altro concetto inventato di sana pianta, e aver capito chiaramente quali manipolazioni si possono fare e quali no. Quindi il limite di $1-1+1-...$ continua a non esistere, ma se ci inventiamo una definizione nuova del tipo "limiti nel senso di fph" o "nel senso di erFuricksen", allora quella magari esiste. Questa definizione, per esempio, potrebbe per qualche arcano motivo coincidere con quella usuale di limite quando il limite esiste, ma funzionare anche in altri casi.

Questo è quello che è stato fatto per formalizzare alcune idee di teoria dei numeri, come quelle di Ramanujan (che negli anni più giovani era uno specialista nel fare conti con le serie un po' alla garibaldina senza chiedersi se convergessero o no, un po' come anche Eulero qualche secolo prima). Fatto bene, questo lavoro richiede un po' di analisi complessa, quindi non è una cosa che si può spiegare al volo in un post del forum.

In particolare, la funzione $\zeta(s)$ si costruisce in un modo simile a questo utilizzando dell'analisi complessa: è definita come l'unica funzione olomorfa che coincide con il limite di $1^{-s}+2^{-s}+3^{-s}+\dots$ quando questo esiste (cioè quando la parte reale di $s$ è maggiore di 1). Così come se volete potete definire $\frac{1}{1-x}$ come l'unica funzione infinitamente derivabile che coincide con il limite di $1+x+x^2+\dots$, quando questo esiste, cioè per $|x|<1$.. Quindi questo *non* vuol dire che $-\frac{1}{12} = \zeta(-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + \dots$, perché per $-1$ l'uguaglianza di destra non vale. In particolare, se credete di aver capito l'enunciato dell'ipotesi di Riemann e non sapete cosa vuol dire "estensione olomorfa", allora no, non l'avete capito davvero. :) E per capirlo temo che vi servano almeno tre semestri di analisi di quella che si fa all'università; scorciatoie non ce ne sono molte.
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Re: Somme Infinite Stranamente Convergenti

Messaggio da erFuricksen » 13 mar 2016, 17:28

Ok, in tutto questo una cosa l'ho chiarita: devo rinunciare a capirlo :mrgreen: ahahah
Almeno per il momento... comunque grazie, mi serviva giusto capire che dietro ci potesse essere qualche tipo di motivazione diversa e che non sono io che non ho capito niente finora di serie convergenti e divergenti.
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Re: Somme Infinite Stranamente Convergenti

Messaggio da fph » 13 mar 2016, 20:30

Rinunciare assolutamente no, semmai cominciare il sentiero dal primo passo e andare con calma. :) Intanto se ti interessano queste cose prova a guardare qualcosa sulle serie formali, per esempio. Stanno nei senior C2 medium, mi sembra (anche se da un punto di vista un po' diverso). O a cercare qualcosa di analisi I (derivate e integrali). Anche se quella purtroppo è più difficile da studiare da solo, perché il materiale che si trova su internet ti indirizza verso l'impararla "da ingegnere" piuttosto che "da matematico".
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Re: Somme Infinite Stranamente Convergenti

Messaggio da PIELEO13 » 14 mar 2016, 18:08

E noi NON VOGLIAMO ASSOLUTAMENTE impararla "da ingegnere" ahahah (evviva la matematica pura!) Grazie per le delucidazioni fph :)

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Re: Somme Infinite Stranamente Convergenti

Messaggio da scambret » 14 mar 2016, 19:04

Questo odio verso gli "ingegneri" non è ben giustificata xD
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Re: Somme Infinite Stranamente Convergenti

Messaggio da fph » 14 mar 2016, 20:16

Non è odio, è una semplice constatazione che lo stile è diverso. A matematica si cerca di riflettere sui casi patologici e su quali ipotesi sono davvero necessarie, spendendo molto tempo a discutere parenti di $x\sin \frac{1}{x}$, topologia, definizioni alternative e simili. A ingegneria ci si concentra più sull'imparare le cose che servono per fare i conti con il 99.9% delle funzioni che uno incontra nella vita reale, e si passa oltre, visto che l'interesse del corso è un altro.
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