OliForum Matematico

Fissiamo un dominio $A$ ed un intero positivo $n$.
Allora le funzioni simmetriche elementari su $n$ variabili ($x_1+\cdots+x_n,\ \dots,\ x_1x_2\cdots x_n$) sono algebricamente indipendenti su $A$ (cioè non esiste un polinomio non nullo $p\in A[y_1,y_2,\dots,y_n]$ che valutato nelle funzioni simmetriche elementari dia il polinomio nullo).

p.s. Ho deciso di optare per un problema che non richiede tanta teoria, così che tutti (indifferentemente dall'anno di università (o anche di liceo in questo caso)) possano provarlo.

Bello!

Dimostriamolo per induzione.

Passo base $n=1$, chiaramente vero.

Passo induttivo: chiamiamo $k$ il minimo intero tale che le funzioni simmetriche elementari di $k$ variabili siano algebricamente dipendenti. Dimostriamo che le funzioni simmetriche elementari di $k-1$ variabili sono algebricamente dipendenti, ottenendo un assurdo perché $k$ era il minimo. Il fatto che le funzioni simmetriche elementari di $k$ variabili sono algebricamente dipendenti è equivalente al fatto che esiste un polinomio $P\in A[y_1,\ldots,y_n]$ tale che nelle funzioni simmetriche elementari è nullo. Chiamiamo $\sigma_i$ le funzioni simmetriche elementari di $k$ variabili e $\tau_i$ quelle di $k-1$ variabili, di modo che $\sigma_1$ sia la somma e $\sigma_k$ il prodotto delle $n$ variabili, e così per $\tau_1$ e $\tau_{k-1}$. Si avrà che
\[\sigma_1=\tau_1+x_kn,\hspace{1cm}\sigma_2=\tau_2+x_k\cdot\tau_1,\hspace{1cm}\sigma_i=\tau_i+x_k\cdot\tau_{i-1},\hspace{1cm}\sigma_{k-1}=\tau_{k-1}+x_k\cdot\tau_{k-2},\hspace{1cm}\sigma_k=x_k\cdot\tau_{k-1},\]
dove la $i$ nella terza formula vale per $k-1\ge i\ge2$. Dunque, dato che $P(\sigma_1,\ldots,\sigma_k)=0$ per ogni scelta degli $x_i$ per ipotesi, possiamo trovare un polinomio $Q\in A[y_1,\ldots,y_k]$ tale che si annulli in $(\tau_1,\ldots,\tau_{k-1},x_k)$ per ogni scelta degli $x_i$. Infatti basta prendere:
\[Q(y_1,\ldots,y_k):=P(y_1+y_k,y_2+y_k\cdot y_1,y_3+y_k\cdot y_1,\ldots,y_{k-1}+y_k\cdot y_{k-2},y_k\cdot y_{k-1}).\]
$Q$ può essere visto come polinomio in $A[y_k]([y_1,\ldots,y_{k-1}])$, cioè polinomio in $k-1$ variabili con come coefficienti polinomi nella variabile $y_k$. Adesso basta porre $x_k$ costante e i coefficienti di questo polinomio non saranno più polinomi in $y_k$ ma costanti: abbiamo dunque mostrato la tesi trovando un polinomio $Q\in A[y_1,\ldots,y_{k-1}]$ non nullo che si annulla nelle funzioni simmetriche elementari su $k-1$ variabili.

Va bene?

Talete ha scritto: Dimostriamolo per induzione.

Passo base $n=1$, chiaramente vero.

Passo induttivo: chiamiamo $k$ il minimo intero...

Non stai facendo un'induzione, ma si capisce lo stesso.

Talete ha scritto: esiste un polinomio $P\in A[y_1,\ldots,y_n]$ tale che nelle funzioni simmetriche elementari è nullo.

Al posto di $n$ ci andrebbe $k$.

Talete ha scritto: $\sigma_1=\tau_1+x_kn$

L'$n$ va cancellato.

tale che si annulli in $(\tau_1,\ldots,\tau_{k-1},x_k)$ per ogni scelta degli $x_i$.

Questo è il primo errore (banalmente risolvibile...). A te non basta che si annulli in tutti gli $x_i$, tu vuoi che sia il polinomio nullo (non è la stessa cosa, pensa al polinomio $x^p-x$ in $\mathbb{F}_p$).

Adesso basta porre $x_k$ costante [...] un polinomio $Q\in A[y_1,\ldots,y_{k-1}]$ non nullo

Questo è il secondo errore (meno banalmente risolvibile...). Dopo aver posto $x_k$ costante chi ti assicura di non aver trovato il polinomio nullo?