OliForum Matematico

Sia $f: [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tale che $f\in\mathcal C^0 ([0,1])$ ma $f\not\in\mathcal C^1 ([0,1])$.

(a) Dimostrare che, fissato $\varepsilon>0$, esistono un $\lambda\in(0,1)$ e una funzione $g: [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tale che $g\in\mathcal C^1 ([0,1])$ e:
\[\lambda\cdot\int_{0}^1 [g'(x)]^2dx+(1-\lambda)\cdot\int_{0}^1 [f(x)-g(x)]^2dx < \varepsilon.\]

(b) È vero che, fissati $\varepsilon>0$ e $\lambda\in(0,1)$, esiste una funzione $g: [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tale che $g\in\mathcal C^1 ([0,1])$ e:
\[\lambda\cdot\int_{0}^1 [g'(x)]^2dx+(1-\lambda)\cdot\int_{0}^1 [f(x)-g(x)]^2dx < \varepsilon?\]

(c) È vero che, fissati $\varepsilon>0$ e una funzione $g: [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tale che $g\in\mathcal C^1 ([0,1])$, esiste $\lambda\in(0,1)$ tale che:
\[\lambda\cdot\int_{0}^1 [g'(x)]^2dx+(1-\lambda)\cdot\int_{0}^1 [f(x)-g(x)]^2dx < \varepsilon?\]

Spero non sia troppo banale come l'altro...

Per essere onesti, (a) e (c) mi sembrano un po' stupidi (per (a) si può prendere $g(x)=0$ e $\lambda$ sufficientemente vicino ad 1, e per (c) i controesempi si sprecano...), ma (b) può essere simpatico (anche se non è molto difficile nemmeno lui)!

Sì sì lo so infatti erano messi per sviare l'attenzione quelli lo so che anche (b) è facile (cioè, l'ho risolto pure io!) però più di tanto difficili non riesco a crearli.

Np, (b) è effettivamente un problema carino! In realtà il messaggio era principalmente un tentativo di riattivare questa discussione, visto che un testo così lungo può un po' spaventare...

Forse mi sto perdendo qualcosa, ma mi pare che la risposta a b) sia no.
Scegliamo una $f$ che rispetti le richieste e tale che $f(x)=0$ se $x\le \frac13$ e $f(x)=1$ se $x\ge\frac23$.
Fissiamo inoltre $\lambda=\frac12$.
Scegliamo arbitrariamente $g\in \mathcal C^1([0,1])$. Sia $A=\min g$ e $B=\max g$.
Allora è facile ricavare le seguenti disuguaglianze:
[math]\displaystyle \int_0^1 g'(x)^2 dx \ge \left(\int_0^1 |g'(x)| dx\right)^2\ge (B-A)^2
[math]\displaystyle \int_0^1 (f(x)-g(x))^2 dx \ge \int_0^{\frac13} g(x)^2 dx + \int_{\frac23}^1 (1-g(x))^2 dx
\ge \frac13\left[\max(0, A)^2+\max(0, 1-B)^2\right]

Da queste due disuguaglianze è chiaro che
[math]\displaystyle \lambda\int_0^1 g'(x)^2 dx+(1-\lambda)\int_0^1 (f(x)-g(x))^2 dx\ge \frac16\left[3(B-A)^2+\max(0, A)^2+\max(0, 1-B)^2\right]
Ma, indifferentemente da come scegliamo i valori di $A$ e $B$, il valore di destra è maggiore di $\frac37$ e ciò mostra che $\varepsilon$ non può essere scelto piccolo a piacere.

O qualcosa mi sta sfuggendo oppure non vedo il senso del problema.

Scrivo per aggiungere due cose:

Una soluzione alternativa, più elegante ma meno elementare, sfrutta qualche proprietà dello spazio di Sobolev $H^1$ (e mostra che l'unico caso in cui la tesi è vera è con $f$ costante (in realtà anche la soluzione precedente lo mostra, bisogna fare qualche attenzione in più)).
Se la tesi fosse vera allora avremmo $f_n\stackrel{L^2}{\to} f$ e $f'_n\stackrel{L^2}{\to} 0$, ma per la chiusura dell'operatore di derivata, questo implicherebbe che $f\in H^1$ e $f'=0$, perciò $f$ sarebbe costante.

Ma devo aspettare conferma di correttezza o no? Sto aspettando invano?

Mi ero scordato questo topic. La conferma di correttezza c'è, scusami. Tutto giusto, vai pure!