3. Ci riprovo (spero più difficile)

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
Rispondi
Talete
Messaggi: 745
Iscritto il: 05 giu 2014, 13:47
Località: Riva del Garda

3. Ci riprovo (spero più difficile)

Messaggio da Talete »

Sia $f: [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tale che $f\in\mathcal C^0 ([0,1])$ ma $f\not\in\mathcal C^1 ([0,1])$.

(a) Dimostrare che, fissato $\varepsilon>0$, esistono un $\lambda\in(0,1)$ e una funzione $g: [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tale che $g\in\mathcal C^1 ([0,1])$ e:
\[\lambda\cdot\int_{0}^1 [g'(x)]^2dx+(1-\lambda)\cdot\int_{0}^1 [f(x)-g(x)]^2dx < \varepsilon.\]

(b) È vero che, fissati $\varepsilon>0$ e $\lambda\in(0,1)$, esiste una funzione $g: [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tale che $g\in\mathcal C^1 ([0,1])$ e:
\[\lambda\cdot\int_{0}^1 [g'(x)]^2dx+(1-\lambda)\cdot\int_{0}^1 [f(x)-g(x)]^2dx < \varepsilon?\]

(c) È vero che, fissati $\varepsilon>0$ e una funzione $g: [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tale che $g\in\mathcal C^1 ([0,1])$, esiste $\lambda\in(0,1)$ tale che:
\[\lambda\cdot\int_{0}^1 [g'(x)]^2dx+(1-\lambda)\cdot\int_{0}^1 [f(x)-g(x)]^2dx < \varepsilon?\]

Spero non sia troppo banale come l'altro...
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
darkcrystal
Messaggi: 706
Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
Località: Chiavari

Re: 3. Ci riprovo (spero più difficile)

Messaggio da darkcrystal »

Per essere onesti, (a) e (c) mi sembrano un po' stupidi (per (a) si può prendere $g(x)=0$ e $\lambda$ sufficientemente vicino ad 1, e per (c) i controesempi si sprecano...), ma (b) può essere simpatico (anche se non è molto difficile nemmeno lui)!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein

Membro dell'EATO
Talete
Messaggi: 745
Iscritto il: 05 giu 2014, 13:47
Località: Riva del Garda

Re: 3. Ci riprovo (spero più difficile)

Messaggio da Talete »

Sì sì lo so infatti erano messi per sviare l'attenzione quelli ;) lo so che anche (b) è facile (cioè, l'ho risolto pure io!) però più di tanto difficili non riesco a crearli.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
darkcrystal
Messaggi: 706
Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
Località: Chiavari

Re: 3. Ci riprovo (spero più difficile)

Messaggio da darkcrystal »

Np, (b) è effettivamente un problema carino! In realtà il messaggio era principalmente un tentativo di riattivare questa discussione, visto che un testo così lungo può un po' spaventare...
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein

Membro dell'EATO
dario2994
Messaggi: 1428
Iscritto il: 10 dic 2008, 21:30

Re: 3. Ci riprovo (spero più difficile)

Messaggio da dario2994 »

Forse mi sto perdendo qualcosa, ma mi pare che la risposta a b) sia no.
Scegliamo una $f$ che rispetti le richieste e tale che $f(x)=0$ se $x\le \frac13$ e $f(x)=1$ se $x\ge\frac23$.
Fissiamo inoltre $\lambda=\frac12$.
Scegliamo arbitrariamente $g\in \mathcal C^1([0,1])$. Sia $A=\min g$ e $B=\max g$.
Allora è facile ricavare le seguenti disuguaglianze:
[math]
[math]

Da queste due disuguaglianze è chiaro che
[math]
Ma, indifferentemente da come scegliamo i valori di $A$ e $B$, il valore di destra è maggiore di $\frac37$ e ciò mostra che $\varepsilon$ non può essere scelto piccolo a piacere.

O qualcosa mi sta sfuggendo oppure non vedo il senso del problema.
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
dario2994
Messaggi: 1428
Iscritto il: 10 dic 2008, 21:30

Re: 3. Ci riprovo (spero più difficile)

Messaggio da dario2994 »

Scrivo per aggiungere due cose:

Una soluzione alternativa, più elegante ma meno elementare, sfrutta qualche proprietà dello spazio di Sobolev $H^1$ (e mostra che l'unico caso in cui la tesi è vera è con $f$ costante (in realtà anche la soluzione precedente lo mostra, bisogna fare qualche attenzione in più)).
Se la tesi fosse vera allora avremmo $f_n\stackrel{L^2}{\to} f$ e $f'_n\stackrel{L^2}{\to} 0$, ma per la chiusura dell'operatore di derivata, questo implicherebbe che $f\in H^1$ e $f'=0$, perciò $f$ sarebbe costante.

Ma devo aspettare conferma di correttezza o no? Sto aspettando invano?
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Talete
Messaggi: 745
Iscritto il: 05 giu 2014, 13:47
Località: Riva del Garda

Re: 3. Ci riprovo (spero più difficile)

Messaggio da Talete »

Mi ero scordato questo topic. La conferma di correttezza c'è, scusami. Tutto giusto, vai pure! ;)
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
Rispondi