1.Inizio staffetta matematica non elementare

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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Scugnamì
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1.Inizio staffetta matematica non elementare

Messaggio da Scugnamì » 11 dic 2015, 17:31

Introduciamo la staffetta anche in matematica non elementare perchè lo swag non è mai abbastanza...


Sia $W=\{X\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) : tr(X)=0\}$ e sia $A$ una matrice in $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ tale che $tr(AX)=0 \ \ \forall X\in W$. Si dimostri che allora esiste $\lambda$ tale che $A=\lambda I$.
Ultima modifica di Scugnamì il 12 dic 2015, 15:04, modificato 1 volta in totale.
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Talete
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Re: 1.Inizio staffetta matematica non elementare

Messaggio da Talete » 11 dic 2015, 19:10

Siano $m_{i,j}$ i coefficienti della matrice $M$, per ogni $M$ matrice che avrò voglia di usare. Allora si ha che
\[\mathrm{Tr}(X)=\sum_{k=1}^n x_{k,k}=0.\]
Sia $Y=AX$. I suoi coefficienti sono dati dalla seguente formula:
\[y_{i,j}=\sum_{k=1}^n a_{i,k}\cdot x_{k,j}.\]
In particolare, si avrà che:
\[y_{i,i}=\sum_{k=1}^n a_{i,k}\cdot x_{k,i}.\]
So che la traccia di $Y$ deve fare $0$. Dunque:
\[\mathrm{Tr}(AX)=\sum_{k=1}^n y_{k,k}=\sum_{k=1}^n \left(\sum_{l=1}^n a_{k,l}\cdot x_{l,k}\right)=0.\]
Questo deve valere per ogni matrice $X$ con traccia $0$. In particolare anche per le matrici diagonali. Guardando questa formula per una matrice diagonale $D$ con traccia $0$, otteniamo che:
\[\mathrm{Tr}(AD)=\sum_{k=1}^n a_{k,k}\cdot d_{k,k}=0.\]
Adesso scelgo due numeri $r$ ed $s$ tra $1$ ed $n$ e pongo $d_{s,s}=1$, $d_{r,r}=-1$ e $d_{k,k}=0$ con $k\neq s$ e $k\neq r$. Così la traccia di $D$ è $0$. Ottengo dunque:
\[a_{s,s}=a_{r,r}.\]
Questo vale per ogni scelta di $r$ e di $s$: ho dunque dimostrato che tutti i termini della diagonale principale della matrice $A$ sono uguali tra di loro, e li pongo uguali a $\lambda$. Mi resta da dimostrare che gli altri coefficienti della matrice $A$ sono nulli (cioè che $A$ è diagonale).
Prendo una matrice $Z$, nulla ovunque tranne che per $z_{i,j}=1$, con $i\neq j$. La traccia di $Z$ è sempre $0$. La relazione sulla traccia di $AX$ deve valere anche per la traccia di $AZ$, e dunque:
\[\mathrm{Tr}(AZ)=\sum_{k=1}^n \left(\sum_{l=1}^n a_{k,l}\cdot z_{l,k}\right)=a_{j,i}\cdot z_{i,j}=a_{j,i}=0.\]
Dunque $a_{j,i}$ deve fare $0$ per ogni $i\neq j$. Da questo segue la tesi.

È giusto?
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Scugnamì
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Re: 1.Inizio staffetta matematica non elementare

Messaggio da Scugnamì » 12 dic 2015, 15:07

Bella la soluzione è giusta.Puoi andare avanti con sta staffetta.

La soluzione che avevo in mente è abbastanza diversa : siamo in uno spazio di dimensione $n^2$ che è quello delle matrici $n \times n$ e $W$ ha dimensione $n^2-1$. Chiamiamo $U$ il sottospazio vettoriale delle matrici $A$ con la proprietà voluta. Ora $dim U \geq 1$ in quanto lo span di $I$ ci sta sicuramente(la traccia è lineare). Ci basta dimostrare allora che $U$ e $W$ hanno intersezione nulla. Ma se $B\in W \wedge B\in U$ allora anche la sua trasposta $B^t$ sta in $W$. Ma ora guardiamo $tr(BB^t)$: gli elementi della diagonale sono ottenuti come $\displaystyle \sum_{k=1}^n a_{i,k}a_{i,k}$ allora avrei tutti gli $a_{i,k}=0$ quindi YOLO.(Mi sono appena reso conto che nel testo avevo messo un generico campo $\mathbb{K}$ e non $\mathbb{R}$. Chiaramente la mia soluzione è applicabile solo a questo caso più particolare mentre la tua è gradevolmente più generale.)

Avanti col prossimo.
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Talete
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Re: 1.Inizio staffetta matematica non elementare

Messaggio da Talete » 12 dic 2015, 15:56

Ah ok benissimo allora adesso posto un problema... mi è piaciuta anche la tua soluzione, un'idea decisamente diversa :)
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