Tento di dare una soluzione con idee elementari, che però richiede di calcolare l'area sotto un paio di parabole... È chiaro che il calcolo di quest'area in generale non è elementare (perché non si tratta nemmeno di segmenti parabolici, in modo da usare la formula di Archimede); poi non so, magari, nel caso specifico delle parabole, c'è una dimostrazione elementare di quanto vale l'area sotto di esse [edit: in realtà, ripensandoci, penso si possa tranquillamente fare con la formula di Archimede, sottraendo rette oblique
], in modo da rendere l'intera soluzione completamente elementare.
Chiamo $a$, $b$ i due numeri in $[0,1]$ individuati dai punti scelti a caso.
Piazziamo prima $a$ e poi $b$.
Innanzitutto, possiamo porre wlog $a\leq 1/2$, perché se così non fosse potremmo guardare il segmento al contrario.
Ora, analizziamo il caso in cui $b\leq a$ (la probabilità che ciò avvenga è $a$). In tal caso, il segmento più corto sarà sicuramente uno con estremo $b$: ci si riconduce dunque al problema del segmento più corto con un solo punto, che si vede facilmente che ha come soluzione un quarto della lunghezza del segmento. Dunque la lunghezza media (pesata dalla probabilità) è $a^2/4$.
Ora guardiamo cosa succede se $b>a$ (la probabilità che ciò avvenga è $1-a$). Distinguiamo due casi: $a\geq 1/3$ e $a<1/3$.
Se $a\geq 1/3$, notiamo che ancora una volta il segmento più corto avrà sicuramente come estremo $b$ e ci si riconduce ancora al caso con un punto. Stavolta la lunghezza media pesata è $(1-a)^2/4$.
Se invece $a<1/3$, poniamo, similmente a prima, wlog $b<(1+a)/2$. Se $b<2a$ (probabilità che avvenga: $\frac{a}{(1-a)/2}$, allora il segmento più corto è quello tra $a$ e $b$; se $b>2a$ (probabilità che avvenga: $\frac{1-3a}{(1-a)/2}$, invece, il segmento più corto è quello tra $0$ e $a$. Nel primo caso, la lunghezza media pesata è $(a/2)\cdot\frac{a}{(1-a)/2}$; nel secondo è $a\cdot \frac{(1-3a)/2}{(1-a)/2}$.
Ricapitolando:
- se $a\geq 1/3$, la lunghezza media è $a^2/4+(1-a)^2/4$;
- se $a< 1/3$, la lunghezza media è $a^2/4+(1-a)\left((a/2)\cdot\frac{a}{(1-a)/2}+a\cdot \frac{(1-3a)/2}{(1-a)/2}\right)=a^2/4+a(1-2a)$.
Ora dobbiamo mediare questi valori rispetto ad $a$. Questo si fa con la media integrale, cioè considerando l'area sottesa da queste due parabole con l'asse delle ascisse (rispettivamente negli intervalli $[1/3;1/2]$ e $[0; 1/3)$) e trovando l'altezza che dovrebbe avere un rettangolo di base uguale per avere quella stessa area.
Dunque il valore cercato è $$\frac{\displaystyle \int_0^{\frac{1}{3}}\left(\frac{a^2}{4}+a(1-2a)\right)da+\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}\left(\frac{a^2}{4}+\frac{(1-a)^2}{4}\right)da}{1/2}=\frac{1}{9}.$$