Anelli, unità (invertibili)

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erFuricksen
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Anelli, unità (invertibili)

Messaggio da erFuricksen » 10 set 2015, 00:51

Ciao a tutti!
Stavo provando a risolvere un equazione diofantea, quando mi sono ritrovato a dover necessariamente scomporre $x^2-2$ , tuttavia non sono molto pratico con gli anelli $\mathbb{Z} [roba]$ , quindi mi chiedevo essenzialmente una cosa: esiste un modo, almeno per gli anelli più semplici, di determinare tutte le unità dell'anello? Ad esempio per $\mathbb{Z} [\sqrt {2}]$, io ho avuto un po' di difficoltà a capire come definirle, quindi per evitare dei pasticci preferivo chiedere!
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

darkcrystal
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Re: Anelli, unità (invertibili)

Messaggio da darkcrystal » 10 set 2015, 10:32

Unità. Vedo che usi (correttamente) il termine "anello"; per chi non fosse a proprio agio con questa parola, ai nostri fini un anello è semplicemente un insieme dove hanno senso moltiplicazione e addizione, e si comportano esattamente come ci si aspetterebbe (unica richiesta non ovvia: per ogni elemento dell'insieme c'è l'opposto additivo). Esempi: $\mathbb{Z}$, gli interi modulo $m$ per qualunque $m$, $\mathbb{Z}[x]$, $\mathbb{F}_p[x]$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}[x]$, gli interi di Gauss, $\mathbb{Z}[\sqrt{2}] = \{ a+ b \sqrt{2} | a,b \in \mathbb{Z} \}$, $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}[x]$ (i polinomi a coefficienti modulo $m$, per qualunque $m$) ... insomma, quasi qualunque cosa ragionevole venga in mente. Non esempi: $\mathbb{N}$ (non c'è l'opposto), le classi di resto non nulle modulo $p$ (perché la somma di due classi di resto non nulle può essere nulla). Di qui in avanti, $A$ è un anello.
Un'unità di $A$ è un elemento $u \in A$ per cui esiste un $v \in A$ che soddisfa $uv=1$. Esempi: se $A=\mathbb{R}$, tutto (tranne lo zero) è un'unità, perché basta prendere $v=u^{-1}$, che è ancora un numero reale. Se $A=\mathbb{Z}$, allora le uniche unità sono $1$ e $-1$ (se abbiamo $uv=1$ con $u,v$ interi, allora $u \in \{\pm 1\}$). Se $A=\mathbb{F}_p$, allora tutte le classi di resto non nulle sono unità. Se $A=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, le unità sono (le classi di resto de)gli interi coprimi con $m$. Se $A=\mathbb{C}[x]$, le unità sono esattamente i polinomi costanti non nulli: se $u,v \in \mathbb{C}[x]$ sono tali che $uv=1$, allora $\deg u = \deg v =0$, cioè $u,v$ sono costanti (e chiaramente diversi da zero). Ogni tanto ci sono unità bizzarre: se $A=\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}[x]$ (polinomi a coefficienti modulo 9), allora $u=1+3x$ è un'unità, con inverso $v=1-3x$: infatti $uv=(1+3x)(1-3x)=1-9x^2=1$, perché i coefficienti sono modulo 9.

Il caso di $A=\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. Cos'è un elemento di $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$? E' una cosa che si scrive $a+b\sqrt{2}$ con $a,b$ interi. Noi cerchiamo le unità, ovvero quegli $u=a+b\sqrt{2}$ per cui esiste $v=c+d\sqrt{2}$ (con $c,d$ interi, ovviamente!) tale che $uv=1$, cioè $1 + 0 \sqrt{2}=(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=(ac+2bd) + (ad+bc)\sqrt{2}$. Ovvero, stiamo cercando di risolvere il sistema di diofantee
\[
\begin{cases} ac+2bd=1 \\ ad+bc=0 \end{cases}
\]
Ora la prima equazione implica che $a,b$ sono coprimi (Bézout - o detto più semplicemente: un eventuale fattore comune tra $a$ e $b$ deve dividere $ac+2bd=1$), quindi dalla seconda equazione otteniamo $ad | bc \Rightarrow a | bc \Rightarrow a | c$. Scriviamo $c=ka$ e quindi (di nuovo per la seconda equazione) $d=-bk$ e sostituiamo nella prima: otteniamo $k(a^2-2b^2) = 1$, da cui chiaramente $k= \pm 1$ e $a^2-2b^2 = \pm 1$: quindi tu mi hai chiesto di sapere delle unità, ma in realtà dietro le quinte quello che davvero volevi era risolvere le due equazioni di Pell $a^2-2b^2=1$ e $a^2-2b^2=-1$ ! Questo dovrebbe rispondere almeno parzialmente alla tua domanda (a partire da qui sai trovare tutte le unità di $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$?), ma c'è ancora altro da dire, e - quando avrò tempo, sigh - seguiranno altre puntate!

Osservazione non del tutto inutile. Se $u_1, u_2$ sono unità, anche $u_1 \cdot u_2$ è un'unità! Perché?

Esercizio. Trovare tutte le unità di $\mathbb{Q}$, di $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}] = \left\{ a + b \frac{1+\sqrt{-3}}{2} \bigm\vert a,b \in \mathbb{Z} \right\}$, e di $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}[x]$. Dimostrare che se $d>1$ (intero) l'anello $\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ ha esattamente 2 unità (chi sono?). Dimostrare che se $d>1$ non è un quadrato perfetto l'anello $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ ha infinite unità.

p.s. Spostato in MNE, chiamare questa "teoria di base" potrebbe spaventare qualche giovane virgulto!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein

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erFuricksen
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Re: Anelli, unità (invertibili)

Messaggio da erFuricksen » 10 set 2015, 17:32

Grazie per la risposta :)
Ho visto che hai pubblicato l'equazione che stavo provando a risolvere, in effetti la avevo copiata alla fine di N2 con l'intento di approfondire questi argomenti. Per trovare le unità di $\mathbb{Z}[2]$ avevo provato a procedere allo stesso modo, avevo impostato anch'io il sistema in quel modo ed ero poi arrivato a dire che $k=\pm 1$ (e guarda caso lo avevo chiamato anch'io $k$!), però mi sono fermato prima di impostare le equazioni pensando di essere sulla strada sbagliata, anche perché qualche tempo fa avevo già provato ad approfondire le equazioni di Pell, ma non essendo pratico degli argomenti avevo un po' eclissato la cosa.. Facciamo che provo a ridarci un'occhiata (intanto è l'occasione per approfondire due cose in una volta sola) e poi mi metto su questi esercizi! E poi il problema originale sarà l'ultima sfida :) Grazie mille
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

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Re: Anelli, unità (invertibili)

Messaggio da erFuricksen » 15 set 2015, 17:23

1) Le unità di $\mathbb{Q}$ sono tutte tranne $0$, direi che è semplice vedere che ${p \over q} \cdot {q \over p} =1$ , per ogni $ p,q \in \mathbb{Z}$
2) $\mathbb{Z} [\sqrt{-d}]$ ha esattamente due unità per $d \in \mathbb{Z} , d>1$ :
$$(a+b \sqrt{-d})(c+e \sqrt{-d})=1$$
$$\begin{cases} ac-bed=1 \\ ae+bc=0 \end{cases}$$
$(ac,bed)=1$ quindi $(a,b)=1$ e $(c,e)=1$
ma dalla seconda equazione $a \mid bc \to a \mid c$ e $c \mid ae \to c \mid a$ da cui $a = \pm c$
Posso usare la divisibilità perché se $a$ o $c$ fossero 0 allora avremmo $bed =-1$ che è impossibile perché $d>1$
Ora, se $a=c$ allora $a(e+b)=0$ , ma abbiamo detto che $a \ne 0$, quindi $e=-b$ da cui $a^2+b^2 d=1$ , ovvero $b=0$, da cui le unità $\pm 1$
Se invece $a=-c$ abbiamo $e=b$ e quindi $-a^2-b^2 d=1$ che è decisamente impossibile

Gli altri esercizi si fanno in modo simile, in ${\mathbb{Z} }{[{{1+\sqrt{-3}} \over 2}]} $ si arriva a $\begin{cases} ac-bd=1 \\ ad+bc+bd=0 \end{cases}$ da cui le unità sono $\pm 1 , {{1+\sqrt{-3}} \over 2 }, 1- {{1+\sqrt{-3}} \over 2}$
In realtà non avevo voglia di TeXare tutto :mrgreen:

Mentre ho avuto più problemi a impostare $\mathbb{Z} / 9 \mathbb{Z} [x]$ ...
Ultima modifica di erFuricksen il 18 ott 2015, 13:26, modificato 3 volte in totale.
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Re: Anelli, unità (invertibili)

Messaggio da Drago96 » 15 set 2015, 20:36

Intanto un trucco per le unità, che in realtà è una proprietà importante: se definisci in modo intelligente un coniugio, e per i campi quadratici complessi è quello usuale, e dunque una norma $N (z)=z\cdot\bar z $, hai la proprietà interessante che $N (xy)=N (x)N (y) $.
Ma allora se $u $ è un'unità hai $uv=1$ e prendendo la norma $N (u)N (v)=1$ ed essendo positiva hai $N (u)=1$; inoltre vale il viceversa!
Comunque trovare le unità vuol dire trovare gli elementi a norma 1, e la norma di $a+b\sqrt {-d}$ è $a^2+db^2$ che è tanto positivo ;)

Ora però mi accorgo che non ho mai visto una norma in, ad esempio $\mathbb Z/9\mathbb Z[x]$... esiste? Com'è fatta?
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Re: Anelli, unità (invertibili)

Messaggio da <enigma> » 15 set 2015, 23:55

Drago96 ha scritto:Ora però mi accorgo che non ho mai visto una norma in, ad esempio $\mathbb Z/9\mathbb Z[x]$... esiste? Com'è fatta?
Non l'hai mai vista per un buon motivo... se $p(x)=3x+3$, allora $0=N(0)=N(p^2)=N(p)^2$, e questo non ci piace (e ci dice anche che funziona bene solo se c'è $\mathbb Z/p\mathbb Z [x]$), e inoltre non ci piace perché con le norme perbene hai $N(k \alpha)=k^n N(\alpha)$ per qualche $n$ ($n=2$ nei campi quadratici), qua non c'è un tale $n$. Puoi provare però per esercizio a vedere quali sono le buone proprietà che valgono in quest'anello...
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Re: Anelli, unità (invertibili)

Messaggio da EvaristeG » 16 set 2015, 00:25

erFuricksen ha scritto: Mentre ho avuto più problemi a impostare $\mathbb{Z} / 9 \mathbb{Z} [x]$ ...
Non so se fosse intenzione di darkcrystal lasciarlo davvero come anello in cui trovare tutte le unità. Però, se proprio...
1. Riesci a trovare esempi di grado più alto di $1$ in cui funzionano giochetti tipo $(1-3x)(1+3x)=1$?
Testo nascosto:
ad esempio, $2-6x+15x^2$ ha un inverso?
2. Quindi ora sarebbe bello dimostrare che
Testo nascosto:
se $f(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$ è tale che $(a_0,9)=1$ e $(a_i,9)\neq 1$ per $1\leq i\leq n$, allora $f(x)$ è invertibile
3. Adesso c'è da vedere che le abbiamo prese tutte ...
Testo nascosto:
supponendo che $f(x)$ abbia un inverso $g(x)$, cosa si può dedurre sul leading term di $f(x)$, scrivendo $f(x)g(x)=1$ e paragonando i coefficienti? e una volta che lo sappiamo per il leading term?

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