Integrali in successione

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Nemo
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Integrali in successione

Messaggio da Nemo » 02 lug 2015, 20:05

Mi sembra un problemetto carino. Purtroppo, per risolvero bisogna saper integrare (in effetti bastano sostituzione e parti)...
Il testo è questo:

Calcolare \(\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2n-2}}{(x^{4} - x^{2} +1)^{n}} \ dx\), con \(n\) intero positivo.

Un suggerimento è (forse) nel titolo...
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Nemo
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Re: Integrali in successione

Messaggio da Nemo » 30 lug 2015, 17:41

Chissà che, aggiungendo un suggerimento, qualcuno non posti una bella soluzione... :mrgreen:

Ebbene, considerate la successione il cui termine generale è \(\displaystyle a_{n} = \int_{0}^{\infty} \frac {1}{(1+x^{2})^{n}}\ dx\), con \(n\) intero positivo.
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matty96
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Re: Integrali in successione

Messaggio da matty96 » 07 mag 2016, 14:10

Siccome e' un problema che e' stato abbandonato posto la mia soluzione.
Ammetto che e' stato piu' divertente calcolare il caso n=1 che quello generale :D

Step 1: $a_1= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^4-x^2+1} dx=\frac{\pi}{2}$.
Poniamo $t=1/x$. L'integrale si riscrive $$ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(t-1/t)^2+1} dt=\int_{0}^{1} \frac{1}{(t-1/t)^2+1} dt+\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(t-1/t)^2+1} dt.$$ Sostituendo $s=1/t$ nel primo pezzo dell'integrale, troviamo $$\int_{0}^{1} \frac{1}{(t-1/t)^2+1} dt=\int_{1}^{\infty} \frac{1/s^2}{(s-1/s)^2+1} ds$$ A questo punto l'integrale di partenza diventa $$\int_{1}^{\infty} \frac{1+\frac{1}{s^2}}{(s-1/s)^2+1} ds=\lim_{x \rightarrow \infty}\arctan(x-1/x)-\arctan(0)=\frac{\pi}{2}.$$

Step 2:$a_n= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{((x-1/x)^2+1)^n} dx \implies a_n=\frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}a_1.$


Cerchiamo di trasformare l'integrale:
$$ a_n= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{((x-1/x)^2+1)^n}\cdot 1 dx=$$ $$=\left[\frac{x}{((x-1/x)^2+1)^n}\right]_{0}^{\infty}+2n \int_{0}^{\infty} \frac{x^2-1/{x^2}}{((x-1/x)^2+1)^{n+1}} dx=2n \left(\int_{0}^{\infty} \frac{((x-1/x)^2+1)+(1-2/x^2)}{((x-1/x)^2+1)^{n+1}} dx\right)=$$
$$= 2n\left(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{((x-1/x)^2+1)^n} dx+ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{((x-1/x)^2+1)^{n+1}} dx-2\int_{0}^{\infty} \frac{1/x^2}{((x-1/x)^2+1)^{n+1}} dx\right).$$
(Da notare che $\left[\frac{x}{((x-1/x)^2+1)^n}\right]_{0}^{\infty} \rightarrow 0$).


Come nello step 1 $ \int_{0}^{\infty} \frac{1/x^2}{((x-1/x)^2+1)^{n+1}} dx=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{((s-1/s)^2+1)^{n+1}} ds $.

Infine otteniamo che $a_n=2n(a_n-a_{n+1}) $ da cui la tesi.
Nell'integrale del problema con la sostituzione $t=1/x$ ci riconduciamo a step 2.
In conclusione $$ \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2n-2}}{(x^4-x^2+1)^n} dx=\frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}\frac{\pi}{2}.$$
<<Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
Algebra Astratta).
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$ \displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} $

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Nemo
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Re: Integrali in successione

Messaggio da Nemo » 29 mag 2016, 11:20

$\newcommand{\quoz}[2]{ \,{}^{ #1} \hspace{-7mu} \diagup \hspace{-5mu} {{}_{ #2}} }$ Wow, grazie per la risposta! :mrgreen: Pare corretta. Ora però non ricordo più né perché avessi considerato questo problema carino né come l'avessi risolto. A giudicare dal suggerimento direi che prima ho mostrato che l'integrale $A_n$ da calcolare è uguale ad $a_n$ (quello del suggerimento) e poi il resto dei conti... Mah :?: Forse ho fatto qualcosa del genere: per semplicità di scrittura considero le funzioni $f_n(x)=\quoz 1 {(x+1)^n} $ e $g(x)=(x-\quoz 1 x)^2$ e quindi
\begin{align} A_n &=\int_0^\infty \frac 1 {x^2\bigl(g(x)+1\bigr)^n}\,dx
= \overbrace{\int_0^\infty \frac 1 {x^2} f_n\bigl(g(x)\bigr)\,dx}^A
\stackrel{u\,=\quoz 1 x}{=}
\overbrace{\int_0^\infty f_n\bigl(g(u)\bigr)\,du}^B \\[1.5ex]
&=\frac{A+B}2
= \frac 1 2 \int_0^\infty \biggl(1+\frac 1 {x^2}\biggr) f_n\bigl(g(x)\bigr)\,dx
\stackrel{u\,=\,x\,-\quoz 1 x}{=}
\int_0^\infty f_n\bigl(u^2\bigr)\,du
= a_n \\[1.5ex]
&\stackrel{\text{parti}}{=}
\biggl[\frac x {(x^2+1)^n}\biggr]_0^\infty + \int_0^\infty \frac{x \cdot n\cdot 2 x}{(x^2+1)^{n+1}}\,dx
= 2n \int_0^\infty\frac{x^2+1-1}{(x^2+1)^{n+1}}\,dx = 2n(a_n-a_{n+1}) \end{align}
Banalmente, $A_1=a_1=\dfrac\pi 2$. E dunque $\displaystyle A_n = a_n = \frac{2n-3}{2n-2} \frac{2n-5}{2n-4} \cdots \frac 1 2 a_1= \frac{(2n-2)!}{(2^{n-1}(n-1)!)^2} \frac \pi 2= \frac \pi {2^{2n-1}} \binom{2n-2}{n-1}$. Ma sembra che il mio procedimento sia sostanzialmente uguale a quello che hai fatto tu... (mi dispiacerebbe cancellare ora che ho scritto, quindi lo lascio)
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