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Il secondo quesito della maturità 2015

Inviato: 19 giu 2015, 09:50
da EvaristeG
Di un polinomio $p(x)$ sappiamo che si annulla in $-2,\ 0,\ 2$, che ha tangente orizzontale in $-1,\ 1,\ 2$, è positivo in $(-2,0)$ e $\leq 0$ sul resto di $[-3,3]$, inoltre le aree staccate tra il grafico e l'asse $x$ sugli intervalli $[-3,-2]$, $[-2,0]$, $[0,2]$, $[2,3]$ sono rispettivamente $2$, $3$, $3$, $1$. Determinare il minimo grado possibile per $p(x)$.

[lo posto perché 1. è carino 2. è più intricato di quanto pensassero gli estensori del ministero, temo]

Re: Il secondo quesito della maturità 2015

Inviato: 19 giu 2015, 10:06
da Drago96
Per curiosità, l'hai trovato esplicitamente? O, più subdolamente, hai dimostrato che non esiste?

Re: Il secondo quesito della maturità 2015

Inviato: 19 giu 2015, 12:44
da Troleito br00tal
Puoi darmi un hint? Ti scrivo il mio approccio ma in un punto mi blocco.
Testo nascosto:
Sia $f(x)$ una primitiva di $p(x)$. Supponiamo il grado di $f(x) \le 9$ e scriviamo $f(x)=ax^9+bx^8+...+jx^0$. Poniamo wlog $j=0$ (tanto è una primitiva a caso) e, tenendo conto che $f'(x)=9ax^8+...+i, f''(x)=72ax^7+...+2h$ e mettendo dentro tutte le condizioni, abbiamo un sistema lineare con $10$ incognite (ponendo come incognita anche un certo $z=1$, i cui coefficienti ci servono per determinare le aree). Perciò avrò un sistema lineare in $9$ incognite (con anche $z$) con $9$ equazioni e, se non ho fatto male i conti mortali, il determinante non è zero.

Quindi ora se aggiungo un grado sicuramente ci sarà una soluzione non banale per $[a,...,j,k,z]$, dove $k$ è una nuova incognita. Ora: chi mi assicurà però che questa soluzione non banale abbia $z \not = 0$? Qui è dove mi blocco.

Re: Il secondo quesito della maturità 2015

Inviato: 19 giu 2015, 12:58
da EvaristeG
Beh
Testo nascosto:
Se fai così, mi sembra che ti vengano $11$ condizioni: $5$ su $f(x)$ ($f(0)=0$ e poi le 4 aree), $3$ su $f'(x)$ (i tre zeri), $3$ su $f''(x)$ (le tre tangenti orizzontali). Quindi dovresti usare almeno grado $10$...
Anche perché, se aumenti il grado, cambi i coefficienti del sistemone.

Re: Il secondo quesito della maturità 2015

Inviato: 19 giu 2015, 15:02
da Troleito br00tal
Infatti io voglio dimostrare che la primitiva ha grado almeno $10$!

E poi sì, cambiano i coefficienti del sistemone, però avrei comunque $9$ equazioni lineari in $10$ incognite, da cui una soluzione non banale.

Re: Il secondo quesito della maturità 2015

Inviato: 19 giu 2015, 15:03
da Troleito br00tal
Forse ho avuto un'idea: se ponendo $z=0$ si verifica che il determinante delle rimanente non è $0$ allora $z \not = 0$ nelle soluzioni non banali! Il problema ora è fare i conti

Re: Il secondo quesito della maturità 2015

Inviato: 20 giu 2015, 11:33
da EvaristeG
Btw, c'è un altro fatto carino su questo problema: le condizioni "puntuali" si impongono e si risolve una sorta di grosso sistema lineare (più o meno secondo quanto accennava Troleito), ma il problema è la condizione sui segni o se vogliamo, il fatto che gli zeri del polinomio in $[-3,3]$ siano solo quelli specificati. L'unica soluzione che si trova imponendo le varie condizioni (integrali, zeri e tangenze orizzontali) e fissando il minimo grado per cui le si possa imporre tutte è positiva in $-3$ e $3$, quindi ha più zeri del dovuto :P Per cui bisogna salire ancora.
Non oso poi immaginare se uno volesse imporre anche che gli unici punti a tangenza orizzontale in $[-3,3]$ siano quelli dati...

Re: Il secondo quesito della maturità 2015

Inviato: 20 giu 2015, 12:40
da Drago96
Ok, infatti un polinomio di grado nove che fa "almeno" quelle cose lo si trova... ma poi ha altre radici e altri massimi/minimi, e il grafico è lontano da quello mostrato...
Quindi come si fa ad imporre che non ci siano altre soluzioni??
Anche con $p$ di grado 10 non riesco a trovare un grafico decente; ad esempio, non ho ancora capito se il coefficiente di testa è positivo o negativo...

Re: Il secondo quesito della maturità 2015

Inviato: 24 giu 2015, 16:02
da Nemo
Siete riusciti a individuare questo grado minimo?? :mrgreen:

Io ho trovato qualche polinomio di grado $13$ con esattamente quegli zeri, quelle aree e quei massimi e minimi in $[-3,3]$.
Uno potrebbe essere questo, se il calcolatore non ha approssimato... (lo lascio nascosto perché è esteso e inutile)
Testo nascosto:
$$ \begin{align}
&-2\frac{20598435204070080525030118277941413761}{12928950138948119385403744101463856100} x
-3 \frac{229466109366132064}{9263444232442588335} x^2+ \\ \\
&-4 \frac{9051639277698946092102986977952723309}{36939857539851769672582126004182446000} x^3
-5 \frac{1780633523801503688}{46317221162212941675} x^4 +\\ \\
&+6 \frac{386317510027142465597544806790169087529}{1034316011115849550832299528117108488000} x^5+
7 \frac{81026972553597622}{2205581960105378175} x^6+\\ \\
&-8 \frac{437987291979981713696252621641280653}{3802632393808270407471689441607016500} x^7
-9 \frac{138017763399988577}{13233491760632269050} x^8+\\ \\
&+10 \frac{1100220219256051374199055839154642363}{64644750694740596927018720507319280500} x^9+
11 \frac{8026539500081384}{6616745880316134525} x^{10}+\\ \\
&-12 \frac{583264380934922275166486117937721}{461748219248147120907276575052280575} x^{11}
-13 \frac{31546587480736}{617562948829505889} x^{12}+\\ \\
&+14 \frac{373629356828367635844295403809307}{9850628677293805246021900267781985600} x^{13}
\end{align}
$$
Polinomio-grado13.png
Polinomio-grado13.png (12.69 KiB) Visto 5302 volte
Se non ho sbagliato qualcosa, il grado minimo dovrebbe essere quindi tra $11$ e $13$.

Re: Il secondo quesito della maturità 2015

Inviato: 08 lug 2015, 22:46
da darkcrystal
Immagino non freghi più niente a nessuno, ma (avendo del tempo da perdere) dovrei aver dimostrato che il grado minimo è effettivamente 13. Non sarei in grado di farlo senza un computer, ma comunque... in due parole, uno scrive il sistemone lineare che impone le condizioni del post di Sam, e scrive le soluzioni in termini di un po' di parametri liberi (in particolare, i parametri liberi sono $grado - 9$, chiamiamoli $a_1,\ldots,a_{d-9}$). Dopodiché scrive il polinomio così ottenuto come $f(x)=f_{a_1,\ldots,a_{d-9}}(x)$ e impone un numero sufficiente di disuguaglianze sui valori di $f(x)$ e delle sue derivate (per esempio, $f(3)<f(5/2)<0$, $f(-1)>0$, $f''(-2)\leq 0$... cose di questo tipo). Ognuna di queste disuguaglianze impone una disuguaglianza lineare su $a_1,\ldots,a_{d-9}$, e ora si controlla se intersecando queste condizioni lineari resta qualcosa o meno. Se il computer non ha sbagliato i conti (e non penso proprio), per $d=11$ e $d=12$ imponendo un numero finito di disuguaglianze l'intersezione diventa vuota, mentre per $d=13$ c'è una soluzione, come mostra l'esempio di Nemo. Peraltro, è vagamente interessante notare che imponendo solo le condizioni che scrive Sam nel primo post c'è una soluzione di grado 11, ma ha dei punti stazionari che il grafico del ministero non ha:

Re: Il secondo quesito della maturità 2015

Inviato: 09 lug 2015, 02:11
da EvaristeG
Eh sì, pure a me veniva di grado 13 l'aggeggio ... direi che è vero per consesum gentium.