OliForum Matematico

Di un polinomio $p(x)$ sappiamo che si annulla in $-2,\ 0,\ 2$, che ha tangente orizzontale in $-1,\ 1,\ 2$, è positivo in $(-2,0)$ e $\leq 0$ sul resto di $[-3,3]$, inoltre le aree staccate tra il grafico e l'asse $x$ sugli intervalli $[-3,-2]$, $[-2,0]$, $[0,2]$, $[2,3]$ sono rispettivamente $2$, $3$, $3$, $1$. Determinare il minimo grado possibile per $p(x)$.

[lo posto perché 1. è carino 2. è più intricato di quanto pensassero gli estensori del ministero, temo]

Per curiosità, l'hai trovato esplicitamente? O, più subdolamente, hai dimostrato che non esiste?

Puoi darmi un hint? Ti scrivo il mio approccio ma in un punto mi blocco.

Beh

Infatti io voglio dimostrare che la primitiva ha grado almeno $10$!

E poi sì, cambiano i coefficienti del sistemone, però avrei comunque $9$ equazioni lineari in $10$ incognite, da cui una soluzione non banale.

Forse ho avuto un'idea: se ponendo $z=0$ si verifica che il determinante delle rimanente non è $0$ allora $z \not = 0$ nelle soluzioni non banali! Il problema ora è fare i conti

Btw, c'è un altro fatto carino su questo problema: le condizioni "puntuali" si impongono e si risolve una sorta di grosso sistema lineare (più o meno secondo quanto accennava Troleito), ma il problema è la condizione sui segni o se vogliamo, il fatto che gli zeri del polinomio in $[-3,3]$ siano solo quelli specificati. L'unica soluzione che si trova imponendo le varie condizioni (integrali, zeri e tangenze orizzontali) e fissando il minimo grado per cui le si possa imporre tutte è positiva in $-3$ e $3$, quindi ha più zeri del dovuto Per cui bisogna salire ancora.
Non oso poi immaginare se uno volesse imporre anche che gli unici punti a tangenza orizzontale in $[-3,3]$ siano quelli dati...

Ok, infatti un polinomio di grado nove che fa "almeno" quelle cose lo si trova... ma poi ha altre radici e altri massimi/minimi, e il grafico è lontano da quello mostrato...
Quindi come si fa ad imporre che non ci siano altre soluzioni??
Anche con $p$ di grado 10 non riesco a trovare un grafico decente; ad esempio, non ho ancora capito se il coefficiente di testa è positivo o negativo...

Siete riusciti a individuare questo grado minimo??

Io ho trovato qualche polinomio di grado $13$ con esattamente quegli zeri, quelle aree e quei massimi e minimi in $[-3,3]$.
Uno potrebbe essere questo, se il calcolatore non ha approssimato... (lo lascio nascosto perché è esteso e inutile) Se non ho sbagliato qualcosa, il grado minimo dovrebbe essere quindi tra $11$ e $13$.

Immagino non freghi più niente a nessuno, ma (avendo del tempo da perdere) dovrei aver dimostrato che il grado minimo è effettivamente 13. Non sarei in grado di farlo senza un computer, ma comunque... in due parole, uno scrive il sistemone lineare che impone le condizioni del post di Sam, e scrive le soluzioni in termini di un po' di parametri liberi (in particolare, i parametri liberi sono $grado - 9$, chiamiamoli $a_1,\ldots,a_{d-9}$). Dopodiché scrive il polinomio così ottenuto come $f(x)=f_{a_1,\ldots,a_{d-9}}(x)$ e impone un numero sufficiente di disuguaglianze sui valori di $f(x)$ e delle sue derivate (per esempio, $f(3)<f(5/2)<0$, $f(-1)>0$, $f''(-2)\leq 0$... cose di questo tipo). Ognuna di queste disuguaglianze impone una disuguaglianza lineare su $a_1,\ldots,a_{d-9}$, e ora si controlla se intersecando queste condizioni lineari resta qualcosa o meno. Se il computer non ha sbagliato i conti (e non penso proprio), per $d=11$ e $d=12$ imponendo un numero finito di disuguaglianze l'intersezione diventa vuota, mentre per $d=13$ c'è una soluzione, come mostra l'esempio di Nemo. Peraltro, è vagamente interessante notare che imponendo solo le condizioni che scrive Sam nel primo post c'è una soluzione di grado 11, ma ha dei punti stazionari che il grafico del ministero non ha:

Eh sì, pure a me veniva di grado 13 l'aggeggio ... direi che è vero per consesum gentium.