Determinanti diabolici

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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ms88
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Determinanti diabolici

Messaggio da ms88 » 12 mar 2015, 14:31

Siano $ m,d\in\mathbb{N} $ due interi tali che $ m\geq5 $ e $ 2\leq d\leq m-2 $ e sia $ A\in M_{d,m}(\mathbb{C}) $ una matrice di $ d $ righe e $ m $ colonne. Indichiamo le entrate di $ A $ con $ a_{i}^{j} $ dove $ 1\leq i\leq d $ indica l'indice di riga e $ 1\leq j\leq m $ indica l'indice di colonna.

Per $ j\in\{1,\ldots,m\} $ indichiamo poi con $A^{j}$ la j-esima colonna della matrice $ A. $

Si assuma che la matrice $ A $ sia della forma sequente
$ A=\left( \begin{array}{cccc|cccc} 1 & \quad & \quad & \quad & 1 & a_{1}^{d+2} & \cdots & a_{1}^{m} \\ \quad & \ddots & \quad & \quad & \vdots & \vdots & \quad & \vdots \\ \quad & \quad & \ddots & \quad & 1 & a_{d-1}^{d+2} & \cdots & a_{d-1}^{m} \\ \quad & \quad & \quad & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \end{array} \right) $

Per maggiore precisione, ma penso sia chiaro, il primo blocco $ d\times d $ sulla sinistra è la matrice quadrata identità di rango $ d. $

Consideriamo dunque due famiglie disgiunte di indici $ \{j_{1},\ldots,j_{4}\} $ e $ \{l_{1},\ldots,l_{d-2}\} $ tali che
$ |\{j_{1},\ldots,j_{4}\}|=4 $
$ |\{l_{1},\ldots,l_{d-2}\}=d-2| $

e prendiamo le due funzioni polinomiali nelle indeterminate $ a_{i}^{j}, 1\leq i\leq d-1, d+1\leq j\leq m $ definite da
$ \det(A^{j_{2}}|A^{j_{4}}|A^{l_{1}}|\cdots|A^{l_{d-2}})\cdot\det(A^{j_{1}}|A^{j_{3}}|A^{l_{1}}|\cdots|A^{l_{d-2}}) $
$ \det(A^{j_{2}}|A^{j_{3}}|A^{l_{1}}|\cdots|A^{l_{d-2}})\cdot\det(A^{j_{1}}|A^{j_{4}}|A^{l_{1}}|\cdots|A^{l_{d-2}}) $

Allora $ \frac{\det(A^{j_{2}}|A^{j_{4}}|A^{l_{1}}|\cdots|A^{l_{d-2}})\cdot\det(A^{j_{1}}|A^{j_{3}}|A^{l_{1}}|\cdots|A^{l_{d-2}})} {\det(A^{j_{2}}|A^{j_{3}}|A^{l_{1}}|\cdots|A^{l_{d-2}})\cdot\det(A^{j_{1}}|A^{j_{4}}|A^{l_{1}}|\cdots|A^{l_{d-2}})} $
è una funzione olomorfa non nulla e non costante
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ms88
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Re: Determinanti diabolici

Messaggio da ms88 » 12 mar 2015, 16:56

Editato: le famiglie di indici $ \{j_{1},\ldots,j_{4}\} $ e $ \{l_{1},\ldots,l_{d-2}\} $ devono ovviamente essere disgiunte, altrimenti si ottengono controesempi banali all'enunciato da me proposto :D
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