Fattarello sulla funzione $\Gamma$
Inviato: 01 feb 2015, 13:09
Propongo sotto forma di esercizio un lemmino che salta fuori nella classificazione dei fattori gamma di funzioni della classe di Selberg. I risultati sono però self-contained e non richiedono conoscenze oltre l'analisi elementare!
Sia dunque $\Gamma$ la solita funzione gamma di Euler. Diamo per buona la formula di moltiplicazione di Legendre-Gauβ
\[ \Gamma(s)=m^{s-1/2} (2 \pi)^{(1-m)/2} \prod_{k=0} ^{m-1} \Gamma \left ( \frac{s+k}{m} \right ) .\]
Supponiamo ora che valga un'identità della forma
\[ \Gamma(s)=e^{as+b} \prod_{j=1}^M \Gamma(\alpha_j s+\beta_j):\]
dimostrare che tale identità si può ottenere a partire da $\Gamma(s)$ applicando la formula di moltiplicazione al più $M+1$ volte.
Hint!
Sia dunque $\Gamma$ la solita funzione gamma di Euler. Diamo per buona la formula di moltiplicazione di Legendre-Gauβ
\[ \Gamma(s)=m^{s-1/2} (2 \pi)^{(1-m)/2} \prod_{k=0} ^{m-1} \Gamma \left ( \frac{s+k}{m} \right ) .\]
Supponiamo ora che valga un'identità della forma
\[ \Gamma(s)=e^{as+b} \prod_{j=1}^M \Gamma(\alpha_j s+\beta_j):\]
dimostrare che tale identità si può ottenere a partire da $\Gamma(s)$ applicando la formula di moltiplicazione al più $M+1$ volte.
Hint!