Un classico sugli interi friabili
Inviato: 26 gen 2015, 14:51
Sia $\Psi(x,y):=\# \{ n \leq x : \text{gpf}(n) \leq y \}$, ovvero la funzione di conteggio degli interi fino a $x$ con tutti i fattori primi minori di $y$. Siano poi $u:=\log x/\log y$, e $\varrho(u)$ la funzione di Dickman-de Bruijn definita dall'equazione differenziale alle differenze $\varrho(u)=1$ ($0 \leq u \leq 1$), $u \varrho '(u)+\varrho(u-1)=0$ ($u>1$) .
1) Dimostrare che vale \[ \Psi(x,y) \sim x \varrho (u)\] per $y>x^\varepsilon$, comunque fissato $\varepsilon>0$.
(Suggerimento: usare l'identità di Buchstab.)
2) Dimostrare che in effetti \[ \Psi(x,y) = x \varrho (u)+O(x/\log y)\]
uniformemente per $x >y>2$.
(Suggerimento: considerare le quantità $\Delta(x,y):=(\Psi(x,y)-x\varrho(u))(\log y)/x$, $\Delta_k(y):=1+\sup\{ |\Delta(X,Y)|:y \leq Y \leq X \leq Y^k \}$, e dare una limitazione uniforme a $\Delta_k$ nella regione $k \leq 2 \log \log y$.)
1) Dimostrare che vale \[ \Psi(x,y) \sim x \varrho (u)\] per $y>x^\varepsilon$, comunque fissato $\varepsilon>0$.
(Suggerimento: usare l'identità di Buchstab.)
2) Dimostrare che in effetti \[ \Psi(x,y) = x \varrho (u)+O(x/\log y)\]
uniformemente per $x >y>2$.
(Suggerimento: considerare le quantità $\Delta(x,y):=(\Psi(x,y)-x\varrho(u))(\log y)/x$, $\Delta_k(y):=1+\sup\{ |\Delta(X,Y)|:y \leq Y \leq X \leq Y^k \}$, e dare una limitazione uniforme a $\Delta_k$ nella regione $k \leq 2 \log \log y$.)