Ideali massimali in \(\mathcal{C}([0,1])\)

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
Rispondi
Gottinger95
Messaggi: 481
Iscritto il: 01 lug 2011, 22:52

Ideali massimali in \(\mathcal{C}([0,1])\)

Messaggio da Gottinger95 » 23 dic 2014, 10:41

Posto un problemino che ho trovato assai carino, anche se credo abbastanza classico.
Sia \(R\) l'anello delle funzioni continue da \([0,1]\) in sè dotato delle usuali operazioni \(+,\cdot\) tra funzioni.
Sia \(U\) un ideale massimale. Dimostrare che \(U=U_{\gamma}=\{f \in R: \ f(\gamma)=0\}\) per qualche \(\gamma \in [0,1]\).

Nota: il problema l'ho preso da un libro di algebra, ma la dimostrazione che ho trovato è di carattere abbastanza analitico;
ve ne viene mente qualcuna puramente algebrica?
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4505
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Re: Ideali massimali in \(\mathcal{C}([0,1])\)

Messaggio da EvaristeG » 23 dic 2014, 23:38

Un grande classico.

dario2994
Messaggi: 1426
Iscritto il: 10 dic 2008, 21:30

Re: Ideali massimali in \(\mathcal{C}([0,1])\)

Messaggio da dario2994 » 24 dic 2014, 15:26

Viene spontaneo proporre una variante, dal gusto vagamente meno classico.

Bonus del Maestro: Ci sono ideali massimali di $\mathcal C(\mathbb R)$ non della forma proposta nell'enunciato per $\mathcal C([0,1])$?

E diciamo che secondo me questa variante rende più evidente la necessità di attingere a strumentazioni che di algebrico non hanno nulla. Il punto è che il problema, al di là delle parole usate nell'enunciato, ha ben poco di algebrico...

Piazzo un'idea di soluzione per il problema originale, anche se lo conoscevo già. È solo un accenno e sarò volutamente conciso in alcuni passaggi, così da lasciare la possibilità a chi ha poca dimestichezza con il linguaggio usato di acquisire esperienza aggiungendo i dettagli.

Dimostriamo che se $I$ è un ideale che non è contenuto in nessun $U_\gamma$ allora $I=\mathcal C([0,1])$ (perché questo implica la tesi?).
Per ogni $\gamma\in[0,1]$, scegliamo (come scegliamo?) $f_{\gamma}\in I$ tale che $f_\gamma(\gamma)\not=0$, quindi esiste (perché?) un intorno aperto $A_\gamma$ di $\gamma$ tale che $f_\gamma$ non si annulla in tale intorno.
Perciò possiamo scegliere $\gamma_1,\dots,\gamma_n$ tali che $\bigcup A_{\gamma_i}=[0,1]$ (possiamo davvero trovarli che abbiano questa proprietà?).
Ora è facile vedere che $\sum_{i=1}^n f_{\gamma_i}^2$ è ovunque positiva e questo conclude (perché?) che $I=\mathcal C([0,1])$.
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai

Avatar utente
<enigma>
Messaggi: 873
Iscritto il: 24 set 2009, 16:44

Re: Ideali massimali in \(\mathcal{C}([0,1])\)

Messaggio da <enigma> » 24 dic 2014, 17:44

Una soluzione alla variante può essere
Testo nascosto:
un ideale massimale che contiene l'ideale delle funzioni a supporto compatto.
Per i più ambiziosi, c'è un rilancio più forte. Il problema originale chiede in sostanza di mostrare che si può trovare una corrispondenza tra i punti di uno spazio di Hausdorff compatto $T$ e gli ideali massimali di $\mathcal C(T,\mathbb R)$. Il rilancio di dario2994 chiede di notare che ciò non è più vero senza l'ipotesi di compattezza. La domanda più generale è:

Se $T$ è uno spazio di Hausdorff, si può descrivere gli ideali massimali di $\mathcal C(T,\mathbb R)$ in termini di oggetti "noti"?
Testo nascosto:
La compattificazione di Stone–Čech $\beta T$.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)

Rispondi

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 3 ospiti