Rimuovendo l'ipotesi di limitazione sulle derivate è falso, e un esempio classico è dato dalla successione $ f_n(x)=x^n $ su $ [0,1] $. Però in questo caso la derivata generica all'estremo destro vale n, e dunque non può valere una costante che limita tutte le loro derivate prime.
Inserendo quell'ipotesi, invece, mi viene difficile pensare che possa essere altrimenti. Se l'integrale tende a 0 la funzione tende ad essere quasi nulla ovunque, e l'unica funzione nulla q.o che è anche continua (il fatto che ci sia questa limitazione sulle derivate dovrebbe impedire la convergenza, ovviamente in quel caso solo puntuale e non uniforme, ad una funzione discontinua) è la funzione identicamente nulla, no? Poi se si aggiunge anche il fatto che la successione sia decrescente potrebbe essere fatto rientrare pure il lemma di Dini, e basterebbe ricondursi alla convergenza puntuale...
Grazie in anticipo
![Wink ;)](./images/smilies/icon_wink.gif)