O superficie, perchè sei tu superficie?

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Gottinger95
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O superficie, perchè sei tu superficie?

Messaggio da Gottinger95 » 10 ago 2014, 02:12

Sia \(S\) una superficie chiusa nel piano. Insomma, sicuramente qui dovrei usare questi termini con le pinze: visto che non ne so nulla, intendo dire una..macchietta, per capirci. Sia \(d(A,B)\) la distanza tra i due punti \(A,B\). Definiamo, con una notazione un po' fantasiosa (spero comprensibile) dell'integrale:
\[I_S(P) = \int_{(x,y) \in S} d^2(P,(x,y) ) dx dy \]
Non ho idea di come scriverlo. Quello che intendo è: divido \(S\) in pezzetti piccolissimi e sommo i quadrati delle distanze (pezzetto, P) pesati con l'area infinitesima del pezzetto. Forse così è meglio:
\[I_S(z,w) = \int_{ (x,y) \in S} [(x-z)^2+(y-w)^2 ] dx dy \]
Mi chiedo: conoscendo \(I_S(P)\) per ogni \(P \in T \supset S\), per un certo \(T\), posso determinare un'unica \(S\)?
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

darkcrystal
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Re: O superficie, perchè sei tu superficie?

Messaggio da darkcrystal » 19 ago 2014, 10:23

(Premessa: non sono sicuro di cosa intendi per "chiusa". Forse è il senso topologico, forse vuoi solo dire limitata... ? Comunque questo non cambia la risposta che segue)
Disclaimer: il primo paragrafo è abbastanza MNE, poi la cosa dovrebbe diventare comprensibile.
La risposta sembra essere "no" in qualunque senso uno intenda la domanda. Intanto, con quasi tutte le definizioni di "superficie" ci sono vari controesempi immensamente banali, e anzi se uno prende come definizione di superficie "un sottoinsieme del piano Lebesgue-misurabile" si accorge che esistono $2^\mathfrak{c}$ possibili superfici e solo $\mathfrak{c}$ funzioni $I_S$ [dove $\mathfrak{c}$ è la cardinalità dell'insieme dei numeri reali], per cui anche solo per motivi di cardinalità c'è almeno una funzione $I_S$ cui corrispondono $2^\mathfrak{c}$ superfici diverse... insomma, un macello. Quindi, per evitare problemi di questo tipo, prenderemo come definizione di superficie "un aperto relativamente compatto" (cioè: è un sottoinsieme limitato S del piano, tale che per ogni punto di S c'è almeno una pallina centrata in quel punto che è tutta contenuta in S).

Orbene, veniamo alle cose serie. Ovviamente, se $T$ è ridotto ad un solo punto la tua funzione $I_S$ ci dice veramente poco. Quindi ora esagero: suppongo di conoscere $I_S(P)$ per tutti i punti $P$ del piano, e vedo che anche così non c'è speranza di avere unicità.

Il punto è che la tua funzione $I_S$ (per altro: la seconda scrittura in termini di integrali va benissimo, la prima effettivamente non è il massimo della chiarezza...) codifica molta meno informazione di quello che può sembrare a prima vista. Infatti:
\[
I_S(z,w) = \int_S [(x-z)^2+(y-w)^2] dx dy = \int_S (x^2+y^2) dx dy - 2 \int_S xz dx dy - 2 \int_S yw dx dy + \int_S (z^2+w^2),
\]
dove $z,w$ non dipendono dalla variabile di integrazione ("l'indice su cui sommi") e quindi escono dall'integrale ("dalla somma"):
\[
I_S(z,w) = \int_S (x^2+y^2) dx dy - 2 z \int_S x dx dy - 2 w \int_S y dx dy + (z^2+w^2) \int_S 1 = \int_S (x^2+y^2) dx dy -2z x(S) -2w y(S) +(z^2+w^2)\operatorname{area}(S),
\]
dove $x(S), y(S)$ sono le coordinate del baricentro di $S$ e $ \int_S (x^2+y^2) dx dy$ è una cosa che se, come è probabile, hai studiato un po' di fisica ti dovrebbe venire naturale chiamare momento d'inerzia (a meno di costanti).
Morale della favola: la tua funzione $I_S$, che sembra dipendere in maniera complicatissima da $S$, in realtà dipende solo da 4 numeri: le coordinate del suo baricentro, il suo momento d'inerzia e la sua area. Se ci restringiamo a superfici che hanno il baricentro nell'origine (cosa che costa poco supporre, a meno di una traslazione) scopriamo che due superfici con la stessa area e stesso momento d'inerzia rispetto all'origine hanno la stessa $I_S$. E ora non ti dovrebbe essere difficile trovare vagonate di esempi in cui questo succede...
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Re: O superficie, perchè sei tu superficie?

Messaggio da EvaristeG » 19 ago 2014, 19:21

O se vuoi essere più fisico, $I_S( P)$ è il momento di inerzia della figura $S$ (intesa come figura piana bidimensionale di massa uniforme con densità 1) rispetto all'asse per $P$ perpendicolare al piano. Ora, per Huygens-Steiner,
$$I_S( P)= I_G( P) + M\cdot\overline{GP}^2$$
dove $G$ è il baricentro di $S$ e $M$ è la massa (ovvero, visto che la densità è uniforme e unitaria, l'area).
Prendi due figure con lo stesso baricentro, la stessa area e lo stesso momento di inerzia rispetto al baricentro e avrai lo stesso $I_S$.

Gottinger95
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Re: O superficie, perchè sei tu superficie?

Messaggio da Gottinger95 » 22 ago 2014, 11:09

Bene, mi avete scoperto! Ero partito dal momento d'inerzia. Ma mi sono accorto di aver chiesto una cosa un po' diversa! Fa niente, mi ha interessato comunque la risposta :D Effettivamente il quesito sarebbe dovuto essere il seguente. Sia \(G\) il baricentro di una certa figura ignota \(S\). Se, per ogni punto \(P\) del piano, la quantità:
\[ F_S(P) = \frac{I_S(P)}{\bar{GP} } \]
è assegnata, la figura \(S\) è fissata? In parole povere, mi ero dimenticato di dividere per la distanza dal baricentro.

Se poi proprio volete saperla tutta, la mia domanda originaria era questa:
data una figura bidimensionale \(S\) asimmetrica, è possibile trovare due punti \(A,B\) distanti \(a \neq b\) dal baricentro tali che
\[ \frac{I_a}{a} = \frac{I_b}{b} \ (*)\]
dove \(I_a, I_b\) sono i momenti d'inerzia rispetto ad \(A,B\) ? Se fosse possibile, allora per Huygens-Steiner si troverebbe che \(I_{cdm} = mab\), dove \(m\) è la massa di \(S\). A livello pratico, per trovare \(A,B\) di cui si parlava in (*), il corpo oscilla intorno ad essi con lo stesso periodo ( che infatti è proporzionale a \( \displaystyle \sqrt{\frac{I_a}{a} } \)).
Quello per cui volevo passare, e per cui ho postato, era questo (scritto in modo molto impreciso, ma finchè è aria fritta mi risparmio i dettagli) :
1. Dividiamo la figura in due parti \(S^+, S^-\) con un retta \(r\) passante per il baricentro G. Inoltre chiamiamo \(R^+, R^-\) i semipiani formati da \(r\).
2. Supponiamo per assurdo che per ogni punto \(P \in R^+\) l'unico punto \(P' \in R^-\) sulla retta \(PG\) con lo stesso rapporto \( I_S(P)/\bar{PG}\) sia il simmetrico di \(P\) rispetto a \(G\).
3. Consideriamo la figura \(T\), simmetrica di \(S^+\) rispetto a \(G\). Anche lei, per ragioni di simmetria, rispetta la proprietà del punto (2).
4. Se fosse vero il lemma, questo sarebbe assurdo, perchè abbiamo due figure (\(T \cup S^+\) e \(S^- \cup S^+ = S\), distinte perchè \(S\) è asimmetrica ) con \( F_S(P) \) uguale per ogni punto del piano e con stesso baricentro. E quindi esiste almeno un punto bla bla bla... Ma mi sa che è una cavolata, perchè non funzionerà neanche con \(F_s(P)\)...
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