Valore atteso e misura n-dimensionale

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machete
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Valore atteso e misura n-dimensionale

Messaggio da machete » 27 lug 2014, 16:20

Nel tentativo di risolvere un problema di probabilità, (essendo a corto di idee :D ) ho cercato di intraprendere la strada contosa; sono emersi due dubbi che non sono stato in grado di risolvere via ricerca internet.
(1) Probabilmente è facile, ma non sono sicuro: è vero che se ho un spazio di probabilità $\Omega=\omega \cup {\omega}\, ^c$ (si intende con $\omega \cap {\omega}\, ^c=\varnothing$) e una variabile casuale $X$ su $\Omega$ allora:
$$
\mathbb{E}_{\Omega}(X)=p(\omega)\cdot \mathbb{E}_{\omega}\left(X\left. \right|_{\omega}\right)+p(\omega\, ^c)\cdot \mathbb{E}_{\omega\, ^c}\left(X\left. \right|_{\omega\, ^c}\right)
$$
(2) più delicato: cerco di calcolare la misura n-dimensionale dell' insieme $\mathcal{A}^n_\alpha=\left\{ x\in \mathbb{R}^n: 0<x_1<\ldots <x_n,\, x_1+\ldots+x_n<\alpha \right\}$ con $\alpha>0$. Metto in hide il mio tentativo premettendo che è la prima volta che faccio cose del genere :roll:
Testo nascosto:
Tramite omotetia di fattore $1/\alpha$ ottengo che $\lambda^n\left(\mathcal{A}^n_{\alpha}\right)=\alpha ^n\, \lambda^n\left(\mathcal{A}^n_1\right)$. Cerco ora una formula ricorsiva in $n$ per $\mathcal{A}^n_1$.
$$
\lambda^n\left(\mathcal{A}^n_1\right)=\int_{\mathcal{A}^n_1}\ d\lambda^n
$$
se penso di fissare $x_1$ (come tagliare a fette l 'insieme perpendicolarmente all' asse $x_1$) le sezioni che trovo sono proprio insiemi $\mathcal{A}^{n-1}_{1-x_1}$ infatti sono (n-1)-uple crescenti positive che sommano meno di $1-x_1$, inoltre $x_1$ varia tra $0$ e $1/n$. L' integrale si scrive allora:
$$
\lambda^n\left(\mathcal{A}^n_1\right)=\int_{\mathcal{A}^n_1}\ d\lambda^n=\int_{x_1=0}^{1/n}\lambda^n\left(\mathcal{A}^{n-1}_{1-x_1}\right)\ dx_1=\lambda^n\left(\mathcal{A}^{n-1}_{1}\right)\, \int_{x_1=0}^{1/n}(1-x_1)^{n-1}\ dx_1=\frac{1}{n}\left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\right)\, \lambda^n\left(\mathcal{A}^{n-1}_{1}\right)
$$
al passo base abbiamo che $\lambda^1\left(\mathcal{A}^{1}_{1}\right)=1$ . . . tutto ciò ha senso?
Spargi il defoliante
sulla cassa dirigente
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Tess
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Re: Valore atteso e misura n-dimensionale

Messaggio da Tess » 07 ago 2014, 14:42

Provo a risponderti almeno al secondo punto.
Intanto (se vuoi per definizione di integrale) la misura di un sottoinsieme $S$ (misurabile) di uno spazio $X$ è l'integrale della funzione caratteristica di quel sottoinsieme: $$ m(S) = \int_X \chi(S) dm.$$
Il passaggio chiave è quello che tu chiami "tagliare a fette l'insieme" lungo $x_1$. Il teorema che ti permette di fare questo passaggio è il teorema di Fubini applicato allo spazio $\mathbb R^n$ visto come $\mathbb R \times \mathbb R ^ {n-1}$ e alla funzione caratteristica di quell'insieme (vedi anche http://en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem). Le ipotesi del teorema sono veramente minime, ossia, ti basta che la funzione da integrare sia integrabile sullo spazio prodotto, ma la caratteristica è positiva, limitata ed è di uno spazio limitato, quindi sono ampiamente rispettate. Quindi il tuo procedimento ha sicuramente senso (e se vuoi giustificarlo citi questo teorema).

Passando invece al conto effettivo, sbagli a dire che, lungo la sezione corrispondente ad $x_1$, l'insieme di cui vuoi la misura sia $\lambda^{n-1}(\mathcal A_{1-x_1}^{n_1})$, perché in realtà l'insieme è $\mathcal B = \{x\in \mathbb R ^ {n-1}: x_1<x_2<\dots <x_n, x_2+\dots+x_n <1-x_1\}$. Se vuoi proseguire il conto ti serve quindi una traslazione di $x$ di $x_1$ lungo quell'asse, quindi il vero insieme ha la stessa misura di (usando la tua notazione con le $\mathcal A$): $\mathcal A_{1-nx_1}^{n-1}$.

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