Toro che "non si chiude"

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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ms88
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Toro che "non si chiude"

Messaggio da ms88 » 23 giu 2014, 10:39

Cari tutti, vi propongo questo problema dal sapore "topologico" che sembra avere una facile soluzione "grafica" ma di cui non sono riuscito a trovare una soluzione, se non nel caso di una retta nel piano. Ecco qua il testo:

Sia $ n\geq1 $ e sia $\pi:\mathbb{R}^{n}\longrightarrow(S^{1})^{n}$ la proiezione $ (x_{1},\ldots,x_{n})\mapsto(e^{2\pi ix_{1}},\ldots,e^{2\pi ix_{n}}). $
Sia $ S\subseteq\mathbb{R}^{n} $ un sottospazio affine $ S $ assegnato da un sistema (eventualmente non omogeneo) di $ m $
equazioni in $ n $ variabili $ Ax=b. $ Sia assuma che i coefficienti della matrice $ A $ siano razionali.
Allora $ \pi(S)\subseteq(S^{1})^{n} $ è un omeomorfo ad un toro $ (S^{1})^{r} $ dove $r=\mathrm{rank}(A).$

L'idea filosofica è che, essendo i coefficienti tutti razionali, quando scrivo $ S $ come equazioni parametriche e le proietto con $ \pi $ ottengo della roba con denominatori interi, per cui questo toro deve per forza "chiudersi". Tuttavia non sono riuscito a trovare una soluzione formale e soprattutto pulita.
"Nuvolari ha la bocca sempre chiusa
di morire non gli importa niente"

Lucio Dalla - Nuvolari

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