OliForum Matematico

Siano \(n,m,k \in \mathbb{N_0}\). Sia \( \Psi(n,m,k)\) il numero di coprimi con \(n\) nell'intervallo \( [m,m+k]\). Dimostrare che
\[ \Psi(n,m,k) \ge k \left ( 1+\frac{ \varphi(n)}{n}\right) +1- 2^{\omega(n)} \]
dove \(\omega(n) = |\{p \in \mathbb{P}: \ \ p \mid n\}|\) e \( \varphi(n) = |\{a \in \{1, \ldots,n\}: \ \ (a,n)=1\}|\).

P.S: Causa calcoli sbagliati NON provate a farlo. Per \(k=n\) è falso, lo riaggiorno al più presto.

Ok, provatelo ora!
\[ \Psi(n,m,k) > \frac{k+1}{n}\varphi(n) +1- 2^{\omega(n)}. \]


Ps. Ma perchè Matematica non elementare?

Poco meglio:

\[\left\lceil \frac{k}{n}\varphi(n)\right\rceil - 2^{\omega(n)}+2\le \Psi(n,m,k) \le \left\lfloor \frac{k+2}{n}\varphi(n)\right\rfloor + 2^{\omega(n)}-2. \]

[E qui, per ogni $n$, esistono infiniti $m,k$ tali che si raggiunge l'uguaglianza..]

Grazie, mi ero perso una costante che aveva fatto casino, niente di che. Viene anche a me così adesso (anche l'altra disuguaglianza)!
L'ho messo in MNE perchè già un'altra volta avevo messo un problema di stime e me lo hanno spostato