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Integrale superficie sfera

Inviato: 07 feb 2014, 01:49
da mate!!!
Salve a tutti,
ho provato a trovare la formula per la superficie della sfera usando gli integrali. Il metodo che ho usato però non funziona e non riesco a capire dove sbaglio. Potete aiutarmi?

Re: Integrale superficie sfera

Inviato: 16 apr 2015, 20:22
da luca95
Scusate se resuscito un post vecchissimo ma un'annetto fa avevo provato a farlo anche io. Io sono ignorante quindi $ \int_{0}^{R}\sqrt{R^2-x^2}dx $ non mi ricordo quanto faccia però con il metodo che hai usato puoi facilmente trovare il volume della sfera e poi la superficie derivando la formula ottenuta.

Re: Integrale superficie sfera

Inviato: 17 apr 2015, 08:20
da Kopernik
@luca95:
$ \int_0^R{\sqrt{r^2-x^2}}dx=\pi\,r^2/4 $; si fa per sostituzione ponendo $ r\sin t=x $.
@mate!!!
Il calcolo della superficie della sfera è sbagliato fin dall'impostazione. Una superficie di rotazione si calcola in questo modo:
$ 2\pi\int_a^b{f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx} $

Re: Integrale superficie sfera

Inviato: 17 apr 2015, 16:20
da luca95
Ma perché per il volume il metodo torna mentre per la superficie no :roll: ? Cioè a me pare abbia senso pensare che la superficie sia data dalla somma di tutte le circonferenze al variare di $ \sqrt{R^2-x^2} $...
Comunque Wolfram Alpha mi dice che $ \int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{\pi r^2}{4} $ quindi il calcolo di mate!!! era giusto.

Re: Integrale superficie sfera

Inviato: 17 apr 2015, 16:50
da Kopernik
1) Sì, avevo dimenticato i fattore 1/4 :oops: ; ho corretto prontamente.
2) No, pensa bene a quello che c'è scritto: $ \int_0^R{\sqrt{r^2-x^2}}dx $ ovviamente è un'area (l'area di un quarto di cerchio di raggio R); aggiungere un fattore 4$ \pi $ significa solamente prendere quell'area e moltiplicarla. E' giusto che faccia $ \pi^2R^2 $, ma naturalmente non è la superficie della sfera.

Re: Integrale superficie sfera

Inviato: 17 apr 2015, 17:00
da Kopernik
Aggiungo (anche se la nota spetterebbe a un amministratore e non a me) che l'argomento di cui stiamo parlando non va in matematica ricreativa bensì in matematica non elementare.

Obbedisco. ma_go