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Sia dato un numero non numerabile di palle nello spazio; mostrare che esiste un punto che appartiene all'interno di un numero non numerabile di palle.

L'insieme $X$ delle palle prese in considerazione può essere visto come unione di insiemi del tipo $\{B \in X | r(B)>1/n \}$ al variare di $n$ negli interi positivi, dove $r(B)$ è il raggio di $B$. Se tutti questi insiemi fossero al più numerabili lo sarebbe anche $X$, pertanto abbiamo, per un certo $R>0$, una quantità più che numerabile di palle di raggio $>R$, ciascuna delle quali contiene un cubo di lato $>R$ avente gli spigoli paralleli agli assi, e quindi anche un cubo di lato $R/2$ avente come centro un punto le cui coordinate sono multipli interi di $R$. Dato che l'unione (numerabile) di questi cubi copre tutto lo spazio, con un ragionamento simile a quello fatto all'inizio concludiamo che almeno uno di questi cubi è contenuto in una quantità più che numerabile di palle