Tante palle in comune

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
Rispondi
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3972
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Tante palle in comune

Messaggio da jordan » 19 gen 2014, 00:21

Sia dato un numero non numerabile di palle nello spazio; mostrare che esiste un punto che appartiene all'interno di un numero non numerabile di palle.
The only goal of science is the honor of the human spirit.

spugna
Messaggi: 413
Iscritto il: 19 mar 2009, 22:18
Località: Forlì

Re: Tante palle in comune

Messaggio da spugna » 02 mar 2016, 13:03

L'insieme $X$ delle palle prese in considerazione può essere visto come unione di insiemi del tipo $\{B \in X | r(B)>1/n \}$ al variare di $n$ negli interi positivi, dove $r(B)$ è il raggio di $B$. Se tutti questi insiemi fossero al più numerabili lo sarebbe anche $X$, pertanto abbiamo, per un certo $R>0$, una quantità più che numerabile di palle di raggio $>R$, ciascuna delle quali contiene un cubo di lato $>R$ avente gli spigoli paralleli agli assi, e quindi anche un cubo di lato $R/2$ avente come centro un punto le cui coordinate sono multipli interi di $R$. Dato che l'unione (numerabile) di questi cubi copre tutto lo spazio, con un ragionamento simile a quello fatto all'inizio concludiamo che almeno uno di questi cubi è contenuto in una quantità più che numerabile di palle
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero 100, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

Rispondi

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 3 ospiti