so qualcosa sulla derivata...

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EvaristeG
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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da EvaristeG » 17 ott 2013, 17:10

maurizio43 ha scritto: 4-Se abbandoniamo l’ipotesi < può variare al variare di $ x $ > e imponiamo <per ogni $ x $ > La risposta è sì.
E fin qui ci siamo: se $\exists k_0$ naturale tale che $\forall\ x\in\mathbb{R}$, $\forall\ k>k_0$ naturale si ha $f^{(k)}(x)=0$, allora $f$ è un polinomio.
maurizio43 ha scritto: 5-Se imponiamo senza cavilli l’ ipotesi <può variare al variare di $ x $> (cioè in qualche caso varia, sennò stiamo inutilmente riconsiderando il caso precedente ),
la risposta è no .
Ecco, vedi, questo è il problema col tuo modo di esprimerti (matematicamente parlando): i polinomi vanno bene, perché "senza cavilli" non vuol dire niente, in matematichese. La differenza tra può e deve son convinto ti sia chiara nella lingua italiana, è per questo che ho tradotto l'ipotesi matematica con questi termini, di modo che ti potesse essere più chiaro qual era il problema con quello che affermavi. Quindi, la condizione che scrive Simo è la seguente
$\forall x\in\mathbb{R}\ \exists k_0\in\mathbb{N}$ tale che $\forall k>k_0$ $f^{(k)}(x)=0$.
E questa è soddisfatta dai polinomi. Solo da loro? E' la domanda.
Comunque mi sembra che stiamo discutendo su questioni di lana caprina.
Più interessanti , per me, sarebbero lumi per sapere se c’è ( e come è fatta) una $ f $ non polinomiale che soddisfi il problema.
Purtroppo questa lana caprina è la base della matematica (differenza tre esiste e per ogni, importanza dell'ordine dei quantificatori, cosa vuol dire può e deve, ...) e la principale fonte di errori. Detto questo, né io né fph ti abbiamo ancora risposto sul fatto che esistano altre $f$ del genere perché non siamo noi a dover risolvere gli esercizi, ma gli utenti del forum :).

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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da Simo_the_wolf » 17 ott 2013, 18:29

Chiedo venia per tutti i problemi che sto suscitando... ammetto la mia colpa e cioé che ho scritto male il testo del problema. Quello che volevo intendere è proprio quello che diceva all'inizio fph: data una funzione siffatta è essa necessariamente un polinomio o può essere anche non un polinomio? riparafrasando: esiste una funzione che non sia un polinomio e che soddisfi quelle ipotesi?

Spero ora che sia più chiaro, comunque consiglio di affrontare il primo problema che, a parer mio, risulta carino. Il secondo è più challenging e, a tutt'oggi, non ne conosco la soluzione.

Ciao e grazie a maurizio per essersi comunque impegnato a risolvere questi esercizi, che di solito quelli che posto non li prova a fare nessuno... :P

Ciauuuu

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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da maurizio43 » 18 ott 2013, 10:26

Rimando questo post ( con l'aggiunta di un esempio) perchè quello di stamattina è sparito .
Una overdose di arrovellamento mi porta a partorire questa domanda :
E' una solenne corbelleria o bisogna cercare di combinare in qualche maniera la $ \delta $ di Dirac con un polinomio, per risolvere il quesito 2 ?
( E in questo caso si può ancora parlare di 'funzione' ? )

Per esempio $ \delta(x^2) $ :

per l' ascissa $ x=0 $ --> $ \delta'(x^2) = -(x^2)' = -2.x = 0 $ ; per tutte le altre ascisse $ x $ --> $ \delta'(x^2) = 0 $
per l' ascissa $ x=0 $ --> $ \delta''(x^2) = +(x^2)'' = 2 $ ; per tutte le altre ascisse --> $ \delta''(x^2) = 0 $
per l' ascissa $ x=0 $ --> $ \delta'''(x^2) = - 0 $ ; per tutte le altre ascisse --> $ \delta'''(x^2) = 0 $

Quindi nel punto $ x=0 $ la derivata k-esima è nulla insieme anche a tutte le sue successive solo a partire dal $ k=3 $
In tutti gli altri punti dell' asse $ x $ questo avviene fin dal $ k=1 $

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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da EvaristeG » 18 ott 2013, 17:14

Quello che hai scritto ha poco senso: la delta di Dirac non è una funzione, ma una distribuzione e qui non conviene entrare in argomento. Poi di certo la "cosa" che hai "definito" (che non esiste e non ha nessun senso: $\delta(x^2)$, se vogliamo dargli un senso, è un numero, non una funzione, perché la delta è un oggetto che prende una funzione e sputa un numero,...) non è infinitamente derivabile, qualunque senso questo potrebbe avere.
Ti invito a raccogliere il suggerimento di Simo e dedicarti al punto 1, semmai.

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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da maurizio43 » 19 ott 2013, 15:51

Per la verità anziché dedicarmi a uno dei due quesiti di Simone dovrei darmi all’ ippica. Però nel frattempo voi rischiate una denuncia per “induzione alla follia” , perché lasciate solo un povero vecchietto (che in preda al suo stato delirante si arrampica sugli specchi alla ricerca di una soluzione non alla sua portata) senza svelargli la soluzione o almeno una chiara indicazione per trovarla !

P.S.: Fermo restando che tra le poche confuse nozioni che mi ritrovo in testa si annovera anche quella che la $ \delta(x) $ di Dirac è una distribuzione e non è una funzione
( come del resto alludevo anche nel mio precedente contestato intervento) , mi piacerebbe che chiariste alcune mie vaghe idee( sempre che sia possibile in questa sede e con un interlocutore coi miei difetti, che pare invece voglia volare troppo in alto con le sue alucce di cera ).
(Nascondo i dubbi per evitare overdose di noia nei vari lettori, e perchè mi è capitato solo ora di imbattermi ( !! ) nelle modalità d'uso dell' hide...)
Testo nascosto:
Se ha senso parlare di $ \delta(y) $ di Dirac, e se fosse $ y=x^2 $ , perché non avrebbe senso citare $ \delta(x^2) $ ?
Nel mio disperato e velleitario tentativo di individuare una funzione per la quale le derivate di ordine abbastanza alto sono tutte nulle per ogni $ x $ , ma con possibile diversità da punto a punto del limite minimo dell’ordine di derivazione “che annulla” la derivata, mi sono almanaccato di inserire (confusamente) le proprietà della $ \delta $ di Dirac nelle proprietà dei polinomi.
Io vedevo (sempre confusamente) la $ \delta $ di Dirac come il limite di una successione di funzioni che hanno valori sempre più prossimi allo zero per $ x $ non nullo e sempre più indefinitamente grandi per $ x=0 $ . E “Combinandola” con $ x^2 $ (lo so:è una espressione impropria) ed utilizzando certe formule che ho trovato ieri (rovistando grossolanamente qua e là su internet), che porgono la derivata distribuzionale $ (!?) $ di $ \delta (\psi) $ uguale alla $ \delta (\psi’) $ mi sforzavo di inserire qualche punto opportunamente "spurio" nella funzione $ x^2 $
Ed è forse qua che c'è il punto più criticabile del mio (bislacco) tentativo ? (nemmeno la $ \psi $ usata in queste formule è una funzione, e quindi non posso applicarla considerando $ x^2 $ , nè probabilmente il concetto di “derivata distribuzionale” si può associare alle derivate di cui stiamo parlando).
O comunque non sta in piedi proprio niente ?
Altrimenti non si potrebbe considerare la $ \delta'' (x^2) $come il limite di una successione di funzioni che tendono a zero in ogni $ x $ non nullo e che tendono a $ 2 $ in $ x=0 $

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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da EvaristeG » 19 ott 2013, 18:16

No. Una distribuzione è una "cosa" che prende una funzione e sputa un numero:
$$\delta(f(x))=f(0)$$
una funzione è una cosa che prende un numero reale e sputa un numero reale:
$$f(x)=x^2$$
Quindi $\delta(x^2)=0$. non è una funzione, non c'è nessuna variabile: la $x$ dentro non è l'input. L'input è "la funzione $x^2$".
$$\delta''(x^2)=2$$
perché appunto $\delta''(f(x))=f''(0)$.
E in definitiva, la $\delta$ non è una funzione. L'esercizio chiede una funzione, quindi la $\delta$ non può essere una risposta.

Comunque, per rovinare la festa a tutti, la risposta al quesito è: una $f$ con quelle proprietà non può essere altro che un polinomio.
Detto in altra maniera, esistono altre $f$? No, solo i polinomi. Ora qualcuno lo dimostri.

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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da maurizio43 » 19 ott 2013, 20:16

Perfetto, grazie.
Son già contento così .

maurizio43
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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da maurizio43 » 22 ott 2013, 14:39

Visto che non lo sta facendo nessuno, mi sento in dovere di indicare una possibile dimostrazione.

Per dimostrare che la funzione$ f(x) $ è un polinomio dovrebbe essere sufficiente operare con integrazioni successive (visto che la integrazione di una
derivata n-esima ci dà la derivata (n-1)-esima a meno di una costante) :
: sia $ k_0+1 $ l’ordine della prima derivata identicamente nulla, cioè : $ f^{(k0+1)}(x)=0 $ per ogni $ x $ ,
La sua funzione integrale integrale è : $ f^{(k0)}(x)=C $ (costante non nulla), per ogni $ x $ .
E, per integrazioni successive, si ottengono :
$ f^{(k0-1)}(x) = C x + C_1 $ ;
$ f^{(k0-2)}(x) = \frac{C}{2} x^2 + C_1 x + C_2 $ ;
$ ... $

$ ... $ ; $ f(x) = \frac{C}{k0!} x^{k0} + \frac{C_1}{(k0-1)!} x^{k0-1} + \frac{C_2}{(k0-2)!} x^{k0-2} + ... + C_{k0-1} x + C_{k0} $
Ovvero, appunto, un polinomio.
-----------------
A questo punto mi sorge qualche riflessione sul testo del problema e sulle relative successive esplicitazioni :
(confino tutto come “testo nascosto” ad uso dei masochisti che avranno la pazienza di prendersi la briga di interessarsene)
Testo nascosto:
Assolutamente senza ‘vis polemica’, ma anzi con serena ricerca di scambio di idee, vorrei esternare queste mie rimuginazioni :
Nel testo di Simo_the_wolf il quesito n. 2 era stato definito come quello “difficile” dei due.
Conseguentemente un lettore si predisponeva a cercare una soluzione non banale.
La soluzione ‘polinomio’ mi pareva essere quella banale, e dato che era stata inserita la condizione
< k0 dipendente da punto a punto > era presumibile che da lì discendesse l’ effetto di ‘non banalità’ .
Oltre tutto la domanda era : < può essere un polinomio?>
In questa forma, ed escludendo la soluzione banale, qualcuno era portato a ritenere che la domanda fosse :
’anche se k0 può essere dipendente da punto a punto la soluzione può lo stesso essere un polinomio [come nella soluzione banale] ?’
Qualche ingenuo era portato a escludere l’ accoppiata ‘k0 dipendente da punto a punto’ e ‘polinomio’ , quindi era portato a rispondere : no.
A questo punto, per cercare la soluzione non banale si poteva essere indotti a cercare una funzione che non fosse ”strettamente” un polinomio,
ma (confusamente) un qualcosa ottenuto con qualche variante “puntuale” da un polinomio, e poteva così capitare di infilarsi nel dedalo
di una delirante ricerca di varianti improponibili.
Domanda :
Se la soluzione era quella banale, e se in tal caso la condizione ‘k0 variabile’ non aveva alcun effetto sulla individuazione della soluzione,
i termini <il [quesito]più difficile dei due> , <k0 dipendente da punto a punto>, e <k0 “può” variare con x>
sono stati inseriti solo per fare uno scherzo (in tal caso ben riuscito) al “beccacione” di turno ? :P
Sono curioso della risposta, e saluto tutti con sincera affabilità.
P.S. : Non voglio essere troppo invasivo e chiedo il permesso : Anche se questa non è forse la sede, potrei postare una domanda ( di una dozzina di righe),
a proposito di quello che mi propinarono ( nei primissimi anni ’60 ) circa il concetto di delta di Dirac ?

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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da EvaristeG » 22 ott 2013, 17:02

maurizio43 ha scritto: : sia $ k_0+1 $ l’ordine della prima derivata identicamente nulla, cioè : $ f^{(k0+1)}(x)=0 $ per ogni $ x $ ,
Qui sbagli: tale $k_0+1$ in generale può non esistere, perché a tale indice si consente di variare punto per punto. Può farlo, può non farlo, ma non puoi ASSUMERE all'inizio della dimostrazione che non lo faccia.

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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da maurizio43 » 22 ott 2013, 17:17

Per parafrasare lo sconforto che qualcuno estrinsecò 164 anni fa :
"Il dubbio infuria
l' acume manca,
sul ponte sventola
bandiera bianca"

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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da FrancescoVeneziano » 22 ott 2013, 21:54

Non capisco com'è che questa discussione si è trasformata in una Babele. Provo anch'io a riassumere la richiesta del problema, nella speranza di non essere di ulteriore confusione.

Data una funzione $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dico che essa ha la
Proprietà (A)
se esiste un naturale n tale che $f^{(n)}(x)=0$ per ogni $x$.
Dico che ha la
Proprietà (B)
se per ogni $x\in\mathbb{R}$ esiste un naturale $n(x)$ tale che $f^{k}(x)=0$ per ogni $k\geq n(x)$.

È ovvio da queste definizioni che se $f$ ha la proprietà (A), allora ha anche la proprietà (B).
È ovvio anche che tutti i polinomi soddisfano la proprietà (A), e quindi, a maggior ragione, anche la proprietà (B).
Si può dimostrare, come maurizio43 ha fatto più sopra, che i polinomi sono tutte e sole le funzioni che soddisfano la proprietà (A). Maurizio ha infatti dimostrato che se una funzione soddisfa la proprietà (A), allora è un polinomio.
Il problema chiede se esistono funzioni con la proprietà (B) diverse dai polinomi.

Sebbene possa risultare sorprendente, la risposta è NO. Questo però non segue da nulla di quello che ho scritto fino ad ora, e non è ancora stato dimostrato in questo thread; la proprietà (B) è apparentemente più debole della proprietà (A) e, sebbene in effetti siano equivalenti, questo richiede una dimostrazione, che è ciò che il problema chiedeva.

In conclusione, quello che si chiede di fare è dimostrare che
Se una funzione soddisfa la proprietà (B), allora è un polinomio.

Equivalentemente, alla luce di quanto mostrato da Maurizio, un'altra formulazione del problema è
Se una funzione soddisfa la proprietà (B), allora soddisfa anche la proprietà (A).

In particolare, Maurizio, quello che tu hai fatto è l'implicazione da Proprietà (A) ad essere un polinomio. Quello che si chiedeva di fare è l'implicazione da Proprietà (B) ad essere un polinomio.
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da maurizio43 » 24 ott 2013, 14:45

Mi spiaccio al pensiero che qualche partecipante al Forum proverà una ulteriore rottura di scatole
nel vedermi riprendere questa telenovela malgrado la mia precedente bandiera bianca,
però sono spinto a riprendere il discorso, per ringraziare Francesco Veneziano per la grande lucidità,
ma soprattutto per la lodevole disponibilità a sforzarsi di chiarirmi le idee .

Purtroppo io non riesco proprio a vederla una curva che soddisfi la condizione (B) mantenendo $ n(x) $ variabile in qualche maniera con $ x $.
Con $ n(x) $ costante su tutto l’asse $ x $ sappiamo che sono soddisfatte tutte le condizioni , mentre , viceversa,
con zone consecutive dell’asse $ x $ (per quanto piccole) in cui la derivata $ n $-esima di $ f(x) $ è già nulla,mentre nella zona accanto non lo è,
io mi raffiguro che prima o poi, nelle successive derivate, al confine tra le due zone si ha una discontinuità ( e quindi una non derivabilità) :
con la derivata che da una parte continua ad essere nulla, mentre accanto assume un valore costante diverso da zero
(per poi stendersi a zero con una successiva derivazione) .

Quindi queste mie visioni da Giovanna D’Arco mi portano ad escludere istintivamente la proprietà (B).
In quale punto 'scavolo' ?

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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da EvaristeG » 28 ott 2013, 17:06

maurizio43 ha scritto: io mi raffiguro che prima o poi, nelle successive derivate, al confine tra le due zone si ha una discontinuità ( e quindi una non derivabilità) :
con la derivata che da una parte continua ad essere nulla, mentre accanto assume un valore costante diverso da zero
(per poi stendersi a zero con una successiva derivazione) .
1. La funzione
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{1/x} & x>0\\0 & x\leq 0\end{array}\right.$$
è nulla ed ha tutte le derivate nulle per $x\leq 0$, mentre non è nulla e non ha nessuna derivata identicamente nulla per $x>0$, eppure è infinitamente derivabile (quindi le derivate di ogni ordine esistono e sono continue su tutto $\mathbb{R}$). E quindi non è detto che avere una zona in cui la derivata è sempre nulla e una in qui non lo è sia un problema.

2. Nessuno dice che le derivate debbano annullarsi su intervalli. Sai semplicemente che esiste un insieme $A_1$ di punti in cui la derivata prima è nulla, poi un insieme $A_2$ in cui la derivata prima e la derivata seconda sono nulle e così via ... nessuno dice che gli insiemi $A_n$ debbano essere fatti da intervalli. Potrebbero essere fatti da punti isolati o addirittura pezzetti più strani (ad es $\{1/n , n\in\mathbb{N}\} \cup\{0\}$). Tutto quello che sai è che se unisci tutti gli $A_n$ (che sono infiniti!) ottieni tutto $\mathbb{R}$. Quindi è improprio (e non giustificato) parlare di punti a destra dei quali una certa derivata è nulla e a sinistra dei quali è costante non nulla. Questo sarebbe vero se gli $A_i$ dovessero contenere intervalli.

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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da maurizio43 » 28 ott 2013, 19:48

Alleluia : giusto ! Mi hai dato qualche immagine che non riuscivo a percepire.
( Però di polinomi che si comportano così continuo a non vederne )
Grazie.

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Messaggio da EvaristeG » 29 ott 2013, 16:56

maurizio43 ha scritto: ( Però di polinomi che si comportano così continuo a non vederne )
Infatti non ne esistono. Rileggi il post di FrancescoVeneziano e vedrai che ad un certo punto lui dice che il problema equivale a dimostrare che ogni funzione che ha la proprietà (B) (quella con n(x) che può variare) ha in realtà anche la proprietà (A) (e quindi n(x) alla fine non varia) e dunque è un polinomio.

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