so qualcosa sulla derivata...

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Gottinger95
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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da Gottinger95 » 14 lug 2014, 17:40

Domanda da ignorantone: sia
\[ S_f = \{ k_x: \ x \in \mathbb{R}, \ |f^{(k_x-1)}(x)| > 0, \ \forall k \ge k_x \ \ f^{(k)}(x) = 0 \} = \{\mbox{insieme dei punti dove si iniziano ad annullare le derivate} \} \]
Per come è posto il problema, si intende che \(S_f\) sia limitato? Non credo eh, però non si sa mai. In tal caso si considererebbe \(s= \max S_f\), e la \(f(x)\) sarebbe un polinomio di grado \(s\) (perchè le derivate da \(s\) in poi si annullano in tutti i punti).
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<enigma>
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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da <enigma> » 14 lug 2014, 20:40

Sperando di aver letto bene il testo del 2, è davvero così difficile? Ad occhio l'unico strumento potente che serve è Baire...
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)

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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da EvaristeG » 15 lug 2014, 02:12

Gottinger95 ha scritto:Domanda da ignorantone: sia
\[ S_f = \{ k_x: \ x \in \mathbb{R}, \ |f^{(k_x-1)}(x)| > 0, \ \forall k \ge k_x \ \ f^{(k)}(x) = 0 \} = \{\mbox{insieme dei punti dove si iniziano ad annullare le derivate} \} \]
Per come è posto il problema, si intende che \(S_f\) sia limitato? Non credo eh, però non si sa mai. In tal caso si considererebbe \(s= \max S_f\), e la \(f(x)\) sarebbe un polinomio di grado \(s\) (perchè le derivate da \(s\) in poi si annullano in tutti i punti).
E chi ti dice che $S_f$ abbia massimo?

@<enigma>: e chi dice che sia difficile? Se hai una soluzione, scrivila.

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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da Gottinger95 » 15 lug 2014, 15:21

EvaristeG ha scritto:E chi ti dice che \(S_f\) abbia massimo?
Eh, infatti la mia domanda era proprio se "la derivata da un certo punto in poi si annulla in tutti i punti" significasse che \(S_f\) fosse limitato. A quanto pare no! :D
In realtà dimostrare che \(S_f\) abbia massimo è equivalente a dimostrare che sia un polinomio, quindi si, la mia domanda era insensata.
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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da EvaristeG » 17 lug 2014, 19:42

Gottinger95 ha scritto: Eh, infatti la mia domanda era proprio se "la derivata da un certo punto in poi si annulla in tutti i punti" significasse che \(S_f\) fosse limitato.
Più che altro, tutto il precedente can can nasceva esattamente da questo fraintendimento. Il testo è che per ogni $x$ esiste $n$ tale che per ogni $m>n$ la derivata $m$-esima è nulla in $x$ e non che esiste $n$ tale che per ogni $x$ etc etc ...

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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da Gottinger95 » 21 feb 2015, 03:36

Posto una idea di dimostrazione del fatto che esistono funzioni non polinomiali che soddisfano la richiesta. Costruiamo ricorsivmente un insieme di polinomi $\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}_0 }$ rispettivamente da $ [1/(n+1), 1/n ] $ a $\mathbb{R}$ e di grado $n$ in questo modo: $ f_1(x) = x$, e $f_{n+1}$ è scelta in modo che coincida fino alla derivata $n+1$-esima con $f_n$ in $1/(n+1)$. E' sempre possibile trovare una $f_{n+1}$ di grado $n+1$ con queste proprietà perchè la matrice del sistema da risolvere è triangolare (anzi, avanza pure un grado di libertà). Considerando $f: (0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ che coincide con $f_n$ sull'intervallo $ [1/(n+1), 1/n]$, otteniamo la nostra funzione non polinomiale che soddisfa.
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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da fph » 21 feb 2015, 10:06

Uhm, non mi torna. Al primo passaggio vuoi un polinomio che si incolli con $f_1(x)=x$ in 1/2, cioè tale che $f(1/2)=1/2$, $f'(1/2)=1$, $f''(1/2)=0$, e l'unico polinomio di grado $\leq 2$ che soddisfa queste condizioni è $f_2(x)=x$. O forse vuoi solo le prime due condizioni? In quel caso hai sì un grado di libertà, ma la derivata seconda viene discontinua.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da Gottinger95 » 21 feb 2015, 15:42

Eh già, me ne sono accorto stamattina! Nei punti in cui incollo un polinomio di grado $n$ a uno di grado $n+1$, la derivata $n+1$-esima fa un salto.
Anche quella qui sotto è sbagliata, la editerò a breve (sono troppo frettoloso):
Testo nascosto:
Cambio idea, dunque, e dimostro che deve essere un polinomio dando per risolto il primo punto. Inoltre do' per buono anche che una funzione analitica identicamente nulla su un intervallo è nulla dappertutto.

Per ogni $n \in \mathbb{N}$ sia $A_n = \{x \in \mathbb{R} \ | \ f^{(n)}(x) = 0\} $. Visto che $f^{(n)}$ è continua, $A_n$ è chiuso perchè controimmagine del chiuso $\{0\}$. Sia $C_n = \{x \in \mathbb{R} \ : \ f^{(m)}(x) = 0 \ \ \forall \ m \ge n \} = \bigcap_{m \ge n} A_m$. Anche i $C_n$ sono chiusi perchè intersezione di chiusi.
Per ipotesi, sappiamo che $ \bigcup_n C_n = \mathbb{R}$, perciò per il teorema di Baire esiste un $C_n$ con parte interna non vuota, i.e. esistono un $n$ e un intervallo $I $ in cui tutte le derivate $m$-esime si annullano per $m \ge n$. Questo ci dice che $f$ coincide con un polinomio $p$ su $I$.
Inoltre, per il punto 1, sappiamo che $f$ è analitica (non è vero!). Visto che $f-p$ è nulla su $I$, è nulla su tutto $\mathbb{R}$, e perciò $f$ coincide con $p$ su tutto $\mathbb{R}$.

Qulacuno conosce una dimostrazione del fatto che una funzione analitica nulla su un intervallo è nulla dappertutto?
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Re: so qualcosa sulla derivata...

Messaggio da dario2994 » 27 feb 2015, 18:19

@Gottinger: Esistono molte dimostrazioni del fatto che una funzione analitica su un intervallo è nulla ovunque. Tutte però se la giocano sul concetto di connessione, anche perché diventa falso in un attimo se si vive in un mondo non connesso.
Ti propongo un hint per dimostrarlo: considera uno zero di una funzione analitica, mostra che o è isolato oppure la funzione è nulla in un intorno.
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