Prodotto sui primi nello stile del prodotto di Eulero

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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<enigma>
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Prodotto sui primi nello stile del prodotto di Eulero

Messaggio da <enigma> »

Ispirato da un problema già passato sul forum, che chiedeva di dimostrare-mi pare-$\displaystyle \prod_{\text{$p$ primo}} \frac{p^2+1}{p^2-1}=\frac 5 2$. Volevo metterlo in Algebra ma rischiavo venisse spostato :D
Dimostrare che
\[ \prod_{\text{$p$ primo} \atop p\equiv 1 \pmod 4}\frac{p^2+1}{p^2-1}= \frac{12G}{\pi ^2}, \]
\[ \prod_{\text{$p$ primo} \atop p \equiv 3 \pmod 4}\frac{p^2+1}{p^2-1}= \frac{\pi^2}{8G}, \]
dove $G$ è la costante di Catalan.

Trovare poi un'espressione in termini di costanti "note" per gli stessi prodotti ma con $p^2$ rimpiazzato ovunque da $p^3$, e trovare quindi $\displaystyle \prod_{\text{$p$ primo}} \frac{p^3+1}{p^3-1}$.
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
ndp15
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Re: Prodotto sui primi nello stile del prodotto di Eulero

Messaggio da ndp15 »

En passant: hai un link alla discussione sul forum del problema "già passato"?
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<enigma>
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Re: Prodotto sui primi nello stile del prodotto di Eulero

Messaggio da <enigma> »

Purtroppo no, l'ho cercato un po' senza trovarlo... ma sono comunque abbastanza sicuro di averlo già visto, sia nella forma $\displaystyle \prod _{p \in \mathbb P} \frac{p^2+1}{p^2-1}$ che $\displaystyle \sum_{(a,b)=1}\frac 1 {(ab)^2}$.
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jordan
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Re: Prodotto sui primi nello stile del prodotto di Eulero

Messaggio da jordan »

Esatto; se non ricordo male viene dal libro di Leo Moser, ed è stato postato sia qui che su Scienze Matematiche..
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