OliForum Matematico

L'esercizio per il quale chiedo il vostro aiuto è la prova del fatto che il segmento $ S = (0,1) $ in $ \mathbb{R} $ non è un insieme compatto (secondo la definizione) :
Trovare un ricoprimento aperto di $ S $ che non contenga sottoricoprimenti finiti.
Grazie.

Ti rispondo, però tieni conto che questo non è un forum per esercizi universitari, soprattutto quando si tratta di cose standard che potresti trovare in qualunque libro (o googlando opportunamente). Qualche domanda ogni tanto è ben accetta, uno stillicidio di problemi da libro di testo, un po' meno.

Prendi $U_n=(1/n, 1-1/n)$ per $n>2$.

Ok, grazie mille. Chiedo scusa se i miei messaggi sono fuori luogo in questo forum, e ti ringrazio per avermelo fatto notare.

Siccome mi trovo per l'ennesima volta a ristudiare la compattezza, spero di non andare fuori tema, se propongo in questo topic il risultato opposto (che non riesco a dimostrare): $ I = [0,1] $ è compatto.
Ovviamente, essendo un insieme chiuso e limitato di $ \mathbb{R} $, potrei usare il teorema di Heine-Borel. Ma se invece volessi far uso della definizione?
Consideriamo un qualunque ricoprimento aperto$ \{V_\alpha\} $ di $ I $.
Supponiamo poi per assurdo che non si riesca a trovare un sottoricoprimento finito, ovvero che, se $ \{V_i\}_{i=1,...,N} \subset \{V_\alpha\} $ allora $ \bigcup_{i=1}^N V_i \subset I $.
Sia allora $ x \in I $ t.c. $ x\notin \bigcup_{i=1}^N V_i $ uno degli infiniti punti che il sottoricoprimento finito non è in grado di ricoprire (Altrimenti se tali $ x $ fossero in numero finito mi basterebbe aggiungere per ciascuno di essi un aperto di $ \{V_\alpha\} $ che contiene $ x $, ottenenendo un sottoricoprimento finito di $ I $, e ciò farebbe cadere l'assurdo e avremmo concluso.) Come si prosegue??? Qualcuno ha qualche idea? Grazie.

Invece di prendere un x qualsiasi, conviene definire x come il sup su tutti i punti di $ [0,1] $ tali che [0,x] è ricoperto da un numero finito di aperti del tuo ricoprimento. Ora sapresti procedere? (nota che devi anche far vedere che la definizione è ben posta, cioè che non stai facendo il sup di un insieme vuoto)

ndp15 ha scritto:(nota che devi anche far vedere che la definizione è ben posta, cioè che non stai facendo il sup di un insieme vuoto)

Riguardo a questo: considero $ V_0 \in \{V_\alpha\} : 0 \in V_0 $, ma $ V_0 $ è aperto, quindi essendo $ 0 $ un punto interno a $ V_0 $ trovo un intorno (eventualmente chiuso) interamente contenuto in $ V_0 $ e, detto $ y $ l'estremo destro di questo intorno, avrò che esso è un elemento dell'insieme di cui fare il sup. Quest'ultimo insieme, $ S=\{y \in [0, 1] : \exists \{V_i\}_{i=1,...,N} \supset [0, y]\} $ , quindi, è non vuoto.

ndp15 ha scritto: conviene definire $ x $ come il sup su tutti i punti di $ [0,1] $ tali che $ [0,x] $ è ricoperto da un numero finito di aperti del tuo ricoprimento. Ora sapresti procedere?

Forse ho capito l'idea: siccome $ x \in [0,1], \ \exists V_x \in \{V_\alpha\} : x \in V_x $. Sia $ m>x : m\in [0,1] \land m \in V_x $.
Ora, mi sembra vero (ma non saprei dire perché ) che anche $ x \in S $ , cioè oltre ad esserne il sup è il max. Allora aggiungendo il solo insieme $ V_x $ al ricoprimento finito di $ [0, x] $, troverei che $ m \in S $, ma questo è assurdo perché $ m>x=sup(S) $. Quindi non rimane che dire che $ x=1 $.

E' giusto? Sono sicuro che si possa dire e fare molto meglio...

Una premessa: nella definizione che ti ho dato togli la richiesta che $ x\in [0,1] $ e considera quindi il sup esteso a tutti i reali che viene più filata.
Per quanto riguarda la prima parte: basta dire che 0 appartiene, senza fare le ulteriori considerazioni che hai fatto (anche se corrette).
Per la seconda: stante la premessa, quello che devi dire è che $ x>1 $ (da qui concludi immediatamente data la definizione di sup). Supponi dunque per assurdo che $ x\leq 1 $. x sarà contenuto in un aperto $ V $, se ti sposti di poco a sinistra ogni punto ha la proprietà che l'intervallo chiuso da 0 fino ad esso è ricoperto da un numero finito di aperti, ma allora considerando questi aperti e V ottieni un ricoprimento con un numero finito di aperti di qualcosa del tipo $ [0,x+h] $ assurdo.

P.S l'ho scritta volutamente involuta così scrivi per bene i dettagli. Se hai problemi consulta il Manetti (penso la trovi anche online questa dimostrazione comunque).

TI ringrazio tanto, anche per l'utile riferimento di Manetti.
Ciao