[Topologia] Punti di accumulazione e insiemi chiusi/aperti

[SARLANGA]

Salve,
sto studiando in questi giorni una parte dell'analisi che forse mi è sempre mancata, e che ritengo fondamentale... cioè la topologia. In particolare, ho trovato queste definizioni e un corollario ad un teorema:
Def.1. L'insieme $ E $ (in uno spazio metrico) è chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
Def.2. Un punto $ p $ è un punto di accumulazione di E se ogni intorno di p contiene un punto $ q \neq p $ tale che $ q \in E $.
Def.3. L'insieme $ E $ (in uno spazio metrico) è aperto se ogni suo punto è un punto interno.
Cor.1. Un insieme finito di punti non ha punti di accumulazione.

Gli interrogativi che mi sono sorti sono:
(I) Ho trovato scritto in un esempio che un sottoinsieme di $ \mathbb{R}^2 $ fatto da un insieme finito di punti ha la proprietà di essere chiuso. Ma io mi chiedo: se non ha punti di accumulazione (per il cor.1.) come fa ad essere chiuso?
(II) Ho trovato scritto che l'insieme dei numeri interi, pensato come sottoinsieme di $ \mathbb{R}^2 $, è un insieme chiuso (e sono d'accordo perché non può essere un insieme aperto). Ma mi chiedo: quali sono i suoi punti di accumulazione?
(III) Ho trovato scritto che l'insieme dei numeri complessi è un insieme sia chiuso sia aperto. Quali sono i suoi punti di accumulazione? Esistono altri insiemi che sono sia chiusi sia aperti? L'insieme dei numeri reali $ \mathbb{R} $ e l'insieme vuoto appartengono a questa categoria?

[EvaristeG]

Un insieme che non ha punti di accumulazione contiene tutti i suoi punti di accumulazione (che non ci sono, quindi è facile contenerli).
Non ne ha.
Nell'insieme dei numeri complessi (con la topologia standard) tutti i punti sono di accumulazione.
La retta reale, l'insieme vuoto sono sia aperti che chiusi. Dato un qualsiasi spazio topologico $(X,\tau)$, $X$ è sia aperto che chiuso rispetto alla topologia $\tau$ e di conseguenza pure il vuoto. Prendi un insieme qualsiasi con la topologia discreta (quella in cui tutti i sottoinsiemi sono aperti), allora, visto che ogni insieme è aperto, ogni insieme è pure chiuso.

[ma_go]

una parte dell'analisi che forse mi è sempre mancata, [...] cioè la topologia.

una grossa parte di me sta piangendo (l'altra vorrebbe picchiare te, e chi ti ha messo in testa che la topologia è una branca dell'analisi).
(senza offesa, eh).

[<enigma>]

E hai studiato analisi 1, analisi funzionale, integrali doppi, insiemi densi, senza sapere un minimo di topologia? Contento tu

[SARLANGA]

Grazie tante per le risposte.
Adesso so anche che la topologia non è una semplice branca dell'analisi...

[<enigma>]

una grossa parte di me sta piangendo (l'altra vorrebbe picchiare te, e chi ti ha messo in testa che la topologia è una branca dell'analisi).
(senza offesa, eh).

Ma dai, in fondo in fondo tutti i matematici sanno che alla fine si riduce tutto alla teoria dei numeri! Ad esempio, la topologia è una branca della teoria dei numeri. Dimostrazione: la topologia è una branca dell'analisi, la quale a sua volta che cos'è se non uno strumento della teoria analitica dei numeri, che altro non è che un ramo della teoria dei numeri!

[EvaristeG]

Stupidaggini a parte, per fare analisi la topologia è tremendamente sovrabbondante. Al massimo della pignoleria, può essere utile qualche nozione sugli spazi metrici, ma di certo sapere cos'è uno spazio T3.5 o avere esempi di spazi che non rispettano il primo assioma di numerabilità non sono cose che chi fa analisi potrebbe considerare di dover sapere.