Moto browniano in una scatola

[<enigma>]

Problema estemporaneo, dopo una veloce ricerca ho trovato che è noto e il caso $\lambda=10$ è un problema della Hundred Dollars Hundred Digits Challenge: esiste una soluzione generale?

Una particella si trova nel piano al centro di un rettangolo $\lambda \times 1$ e si muove di moto browniano: qual è la probabilità che esca dal rettangolo da uno dei lati lunghi $1$?

[EvaristeG]

Mah, per una circonferenza sarà una diffusione gaussiana quindi la probabilità di colpire un arco di ampiezza $\alpha$ sarà $\alpha/2\pi$ (o roba così), dopo di che puoi mappare il cerchio nel rettangolo con una mappa conforme che quindi preserva l'equazione di diffusione. Dalla mappa conforme ricavi il legame tra il rapporto dei lati del rettangolo e il rapporto degli archi di cerchio corrispondenti, che probabilmente è dato da un integrale ellittico e quindi non ulteriormente semplificabile. Però puoi calcolarlo approssimato con l'algoritmo della media aritmo-geometrica (se l'integrale ellittico è quello completo, come mi sembra di ricordare).