OliForum Matematico

Tratto da un quesito della simulazione per Cesenatico di Torino, almeno credo. È da un po' che ci penso. Spero sia il posto giusto dove postarlo, almeno!
Consideriamo il numero reale $\alpha$ la cui espansione decimale è $0,c_1 c_2 c_3 c_4 \dots$ dove $c_n$ è $1$ se $n$ è quadrato, $0$ altrimenti.
La domanda è $\alpha$ è algebrico o trascendente?

Hintone:

Piccolo dubbio: se \(\beta\) è trascendente, può esistere per ogni \(n\) un numero razionale q tale che \(| \beta - q | < 10^{-n} \)?
Per quanto riguarda invece l'hint di EvaristeG, c'è qualcosa che non mi quadra:

Gottinger95 ha scritto:Piccolo dubbio: se \(\beta\) è trascendente, può esistere per ogni \(n\) un numero razionale q tale che \(| \beta - q | < 10^{-n} \)?

Questa proprietà se ci pensi vale per tutti i numeri q reali.

Ovviamente intendevo algebrico di grado maggiore di 1 ... cioè algebrico irrazionale.

Beh, questo fatto è proprio quello che credevo fosse necessario per risolvere la domanda (sostanzialmente dovrei trovare una successione di razionali $p_n/q_n$ tali che $|\alpha-p_n/q_n|<1/q_n^n$, o comunque qualcosa che si avvicini più velocemente di qualsiasi polinomio).
Il fatto è che non riesco a trovare i razionali che approssimano bene $\alpha$. Se uso una somma di potenze di 10 non mi avvicino abbastanza, non riesco neanche ad ottenere $n\geq 2$. Cosa prendere?

Volevo scriverlo io ma mi sembrava brutto... l'hintone è segato perché al massimo puoi usare il contronominale per dimostrare che $\alpha$ è trascendente: ma l'unica successione sensata di approssimazioni razionali (ovvero $\displaystyle \frac{1}{10}, \frac{1001}{10000}, \frac{100100001}{1000000000}, \dots$) ha denominatori $q_n=10^{n^2}$, e l'esponente che ottieni è circa $10^{1+2/n} $... che non è neanche lontanamente sufficiente per dimostrare che $\alpha$ è Liouville; neanche macchinari più avanzati come Thue-Siegel-Roth riescono a cavare fuori qualcosa... a meno che EG non avesse in mente una successione di razionali a cui non abbiamo pensato

Ho trovato proprio quel che fa al caso nostro... qui (corollario 52, pagg. 33-34) dice che Nesterenko ha mostrato che, per $q \in \mathbb C$ algebrico con $0<|q|<1$, il numero $\vartheta_3(q)$ ($\vartheta$ è la solita funzione $\vartheta$ di Jacobi) è trascendente: in particolare $\alpha=\dfrac 1 2 \left ( \vartheta_3 \left ( \dfrac 1 {10} \right ) -1 \right )$ è trascendente.