Enumerazione di $p^a q^b$

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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<enigma>
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Enumerazione di $p^a q^b$

Messaggio da <enigma> »

Sia $\mathcal S _{a,b} := \left \{ p^a q^b : a, b \in \mathbb N \right \}$ con $p$ e $q$ interi coprimi, e ordiniamo gli elementi di $\mathcal S_{a,b}$ come $x_1< x_2< \dots$. Dimostrare che
\[ x_n \sim \frac 1 {\sqrt {pq}} e^{\sqrt{(2 \log p \log q)n}} .\]

Bonus. DImostrare che nel caso generale con $k$ numeri $p_1, p_2, \dots, p_k$ invece di $p$ e $q$, vale
\[ x_n \sim \frac 1 {\sqrt {\prod_i p_i}} e^{\sqrt[k]{(k! \prod_i \log p_i)n}} . \]
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
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<enigma>
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Re: Enumerazione di $p^a q^b$

Messaggio da <enigma> »

Up+hint: se $2^a 3^b \leq n$, allora $a \log 2+b \log 3 \leq \log n$: qual è l'area di questa regione? Perché approssima bene il numero di punti a coordinate intere che ci stanno dentro?
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