resto di lagrange
resto di lagrange
Qualcuno potrebbe fornirmi una dimostrazione per induzione, dettagliata, della formula di taylor con resto di lagrange?
Re: resto di lagrange
E guardare in un qualunque libro di analisi 1?
Re: resto di lagrange
Ne ho guardato qualcuno ma non sono riuscito a capirne la dimostrazione, ti espongo ciò che non mi è chiaro dell'argomento, premetto che la mia è pura curiosità intellettuale, non studio matematica da quando ho terminato le superiori , pertanto posso scrivere delle banalità, in tal caso me ne scuso!
Sia $ f(x) $ una funzione del tipo $ a_0+a_1x+a_2x^2+......a_nx^n+... $ derivabile indefinitivamente nell'intervallo $ (0,x) $, posso riscrivere tale funzione nella seguente forma $ f(x)=f(0)+xf'(0)+x^2/2f''(0)+x^3/3!f'''(0)+....+x^n/n!f^n(0) $, suppongo di arrestarmi al termine ennesimo della serie, l'errore $ R $ che commetto sarà secondo quanto asserito dal teorema x^(n+1)/(n+1)!f^(n+1)(c), per un certo c con 0<c<x, provando a dimostrare tale asserzione per induzione si ha per $ n=0 $ $ R=xf'(c_1) $, con $ 0<c_1<x $, e questo é vero in base al teorema di lagrange,infatti $ f(x)=f(0)+xf'(c_1) $, pertanto la base dell'induzione è assicurata, ora dovrei dimostrare che l'asserzione se vera per $ n $ implica che è vera anche per $ n+1 $
e quindi per ogni $ n $, ma non saprei come procedere.
Sia $ f(x) $ una funzione del tipo $ a_0+a_1x+a_2x^2+......a_nx^n+... $ derivabile indefinitivamente nell'intervallo $ (0,x) $, posso riscrivere tale funzione nella seguente forma $ f(x)=f(0)+xf'(0)+x^2/2f''(0)+x^3/3!f'''(0)+....+x^n/n!f^n(0) $, suppongo di arrestarmi al termine ennesimo della serie, l'errore $ R $ che commetto sarà secondo quanto asserito dal teorema x^(n+1)/(n+1)!f^(n+1)(c), per un certo c con 0<c<x, provando a dimostrare tale asserzione per induzione si ha per $ n=0 $ $ R=xf'(c_1) $, con $ 0<c_1<x $, e questo é vero in base al teorema di lagrange,infatti $ f(x)=f(0)+xf'(c_1) $, pertanto la base dell'induzione è assicurata, ora dovrei dimostrare che l'asserzione se vera per $ n $ implica che è vera anche per $ n+1 $
e quindi per ogni $ n $, ma non saprei come procedere.
Re: resto di lagrange
Non credo che il libro standard di analisi 1 riporti così la dimostrazione. Penso piuttosto che su ogni libro l'induzione che tu chiedi sia svolta e spiegata.
Comunque anche internet aiuta: ne trovi un sacco.
Comunque anche internet aiuta: ne trovi un sacco.
Re: resto di lagrange
Espongo qui di seguito le mie perplessità e le osservazioni sull'argomento, non avendo a disposizione dei testi di analisi ,ne la possibilità al momento di consultarli, la mia unica possibilità è di affidarmi al materiale reperibile in rete ed alle vostre risposte!
1) ogni serie polinomiale del tipo $ a_0+a_1(x)+a_2(x^2)+.....a_n(x^n)+.......+ $, essendo continua e derivabile indefinitivamente, si può riscrivere nella forma di un polinomio di taylor, cioè $ f(0)+xf'(0)+x^2/2f''(0)+x^3/3!f'''(0)+.....+x^n/n!f^n(0)+.......+ $.
2) la convergenza o meno di tale serie dipende dal modo in cui più, o meno velocemente decrescono i coefficienti;
3) il fattore $ x^n/n! $ ,presente nel termine generico $ x^n/n!f^n(0) $, tale fattore si vede facilmente che tende a zero per n tendente ad infinito, la veridicità di questa asserzione é fondamentale.
4) A questo punto dalla 3) posso dedurre che a determinare la convergenza della serie polinomiale
è esclusivamente il comportamento di $ f^n(0) $ per $ n $ tendente ad infinito; se consideriamo per esempio la funzione $ f(x)=1+x+x^2/2+x^3/3!+.....x^n/n!+.... $ dove risulta $ f(n)=1 $, per ogni $ n $, pertanto $ f(n) $ ha un valore limitato comunque $ n $ tenda ad infinito, si deduce che tale serie sarà sicuramente convergente.
La formula di taylor con resto di lagrange mi permette in fin dei conti di sintetizzare le osservazioni precedenti e sopratutto di calcolare il valore della funzione per ogni $ x $ con quell'approssimazione voluta ove risultasse convergente! Mi sbaglio?
Sperando in una vostra risposta , vi invio cordiali saluti!
1) ogni serie polinomiale del tipo $ a_0+a_1(x)+a_2(x^2)+.....a_n(x^n)+.......+ $, essendo continua e derivabile indefinitivamente, si può riscrivere nella forma di un polinomio di taylor, cioè $ f(0)+xf'(0)+x^2/2f''(0)+x^3/3!f'''(0)+.....+x^n/n!f^n(0)+.......+ $.
2) la convergenza o meno di tale serie dipende dal modo in cui più, o meno velocemente decrescono i coefficienti;
3) il fattore $ x^n/n! $ ,presente nel termine generico $ x^n/n!f^n(0) $, tale fattore si vede facilmente che tende a zero per n tendente ad infinito, la veridicità di questa asserzione é fondamentale.
4) A questo punto dalla 3) posso dedurre che a determinare la convergenza della serie polinomiale
è esclusivamente il comportamento di $ f^n(0) $ per $ n $ tendente ad infinito; se consideriamo per esempio la funzione $ f(x)=1+x+x^2/2+x^3/3!+.....x^n/n!+.... $ dove risulta $ f(n)=1 $, per ogni $ n $, pertanto $ f(n) $ ha un valore limitato comunque $ n $ tenda ad infinito, si deduce che tale serie sarà sicuramente convergente.
La formula di taylor con resto di lagrange mi permette in fin dei conti di sintetizzare le osservazioni precedenti e sopratutto di calcolare il valore della funzione per ogni $ x $ con quell'approssimazione voluta ove risultasse convergente! Mi sbaglio?
Sperando in una vostra risposta , vi invio cordiali saluti!