serie di taylor

[ierallo]

Premetto che ancora non ho le idee del tutto chiare sull'argomento1
Riporto qui un semplice esercizio che a mio modesto parere è illluminante di come vadano le cose.
Sia $ f(x)=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+... +x^n/n!+...... $, per $ x=1 $ avremo $ f(x)=e= 1+1+1/2!+1/3!+....+1/n!+... $.
Se ci arrestiamo al termine $ 1/n! $ commettiamo un errore $ R $, che risulterà essere uguale alla somma dei termini successivi ad $ 1/n! $, cioé, $ R=1/(n+1)!+1/(n+2)!+....=1/n!(n+1)+1/n!(n+1)(n+2)+....=1/n!(1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)+....) $, adesso osserviamo che la serie tra parentesi $ 1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)+........+ $ é minore della serie $ 1/(n+1)+1/(n+1)^2+1/(n+1)^3 $, i cui termini sono in una progressione geometrica di ragione $ 1/(n+1) $ e la cui somma é $ (1/(n+1))((n+1)/n)=1/n $, pertanto essendo minore di $ 1/n $, la quantità
$ R $ sarà minore di $ 1/n!n $. Si hanno perciò le seguenti disuguaglianze:

$ e>1+1+1/2!+1/3!+....+1/n! $ ed

$ e<1+1+1/2!+1/3!+....+1/n!+1/n!n $,
a questo punto possiamo dire che risulterà :

$ e=1+1+1/2!+...+1/n+k/n!n $ con $ k $ opportuno compreso fra $ 0 $ ed $ 1 $.
Ora la mia domanda é, questo semplice ragionamento é attuabile per la suddetta funzione solo per il caso particolare $ x=1 $, perché mi permette di confrontare con una progressione geometrica, pertanto già nel caso $ x=2 $ tale procedimento non sarebbe più possibile, vero?
Inoltre ricorrendo alla formula di taylor con resto di lagrange cosa potrei dedurre analogamente?