teorema di lagrange

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ierallo
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teorema di lagrange

Messaggio da ierallo » 28 apr 2013, 08:47

Leggendo il teorema di lagrange in cui si afferma che data una funzione $ f(x) $ continua e derivabile nell'intervallo $ (a,b) $ allora si ha $ f(b)-f(a)=f'(x_1)(b-a) $, con $ x_1 $ compreso nell'intervallo $ (a,b) $,
cioè $ a<x_1<b $.
Ora dando un occhiata ad alcuni esercizi su tale teorema, osservavo che se abbiamo una funzione di secondo grado , in generale $ f(x)=ax^2+bx+c $, e consideriamo l' intervallo $ (x_0,x_0+h) $ si può facilmente
concludere che il punto di ascissa cercato in generale é $ x_1=(x_0+x_0+h)/2=(2x_0+h)/2=x_0+(h/2) $ ,
quindi in pratica $ x_1 $ altro non é che il valor medio, questo però non è più vero se il grado della funzione supera due, infatti anche nel caso $ f(x)=ax^3+bx+c $ esisterà almeno un $ x_1 $ interno all'intervallo $ (x_o,x_o+h) $, ma sicuramente non sarà più il valor medio.
E' sbagliata questa mia elementare considerazione?

Kopernik
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Re: teorema di lagrange

Messaggio da Kopernik » 28 apr 2013, 14:51

La proprietà che hai "scoperto" è conseguenza immediata della simmetria della parabola.
Per visualizzarla ti faccio prima di tutto un esempio con una parabola facile, che abbia asse verticale. Considera una qualsiasi tangente a una parabola; prendi il fascio di rette parallele alla tangente. Se una di queste rette seca la parabola, forma una corda il cui punto medio ha la stessa ascissa del punto di tangenza.
Più in generale: data una parabola, il luogo dei punti medi delle corde formate dalla parabola su un fascio improprio di rette è una retta parallela all'asse della parabola. Il punto di tangenza (dell'unica retta del fascio improprio tangente alla parabola) ovviamente appartiene al medesimo luogo geometrico.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

ierallo
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Re: teorema di lagrange

Messaggio da ierallo » 30 apr 2013, 07:30

Intanto grazie per la risposta!
Infatti quello che tu hai detto, se non erro,ne é l'interpretazione geometrica, ed é, come sostieni, conseguenza diretta della simmetria della parabola,
Quindi quando ho una funzione di secondo grado , continua e derivabile , nell' intervallo $ (x_0,x_0+h) $, il punto
ricercato dal teorema di lagrange é $ x_1=x_0+(h/2) $, in definitiva basta prendere un incremento $ h_1 $ che sia esattamente la metà dell'incremento $ h $, pertanto espresso in funzione dell' incremento $ h $; infatti nel semplice calcolo che avevo fatto, arrivavo facilmente all'identità $ 2x_0+2h_1=2x_0+h $ che implica
$ 2h_1=h $, e da qui $ h_1=h/2 $.
La faccenda evidentemente si complica, non appena considero una funzione superiore al secondo grado, come succede ad esempio per la cubica $ y=x^3 $, in quanto mi trovo impossibilitato ad esprimere l'incremento $ h_1 $ in funzione dell'incremento $ h $, potresti darmi una delucidazione su questo caso?

Kopernik
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Re: teorema di lagrange

Messaggio da Kopernik » 30 apr 2013, 15:36

Beh, in realtà non c'è molto da spiegare. Il teorema di Lagrange garantisce l'esistenza (ma non l'unicità) di un punto che possiede delle particolari caratteristiche. Tu hai trovato, nel caso delle parabole, una regola che ti permette di trovare in modo veloce dove si trova questo punto. Con funzioni diverse semplicemente questa regola, in generale, non esiste. Il punto (o i punti) si trova da qualche parte nell'intervallo. Nel caso di una cubica, infatti, a seconda dell'ampiezza dell'intervallo puoi avere che i punti che soddisfano Lagrange sono 1 o 2; quindi la proprietà che hai trovato per le parabole non vale più.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

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Re: teorema di lagrange

Messaggio da ierallo » 01 mag 2013, 09:16

Si hai ragione, solo che ho iniziato da poco a studiare l'argomento, e la piena comprensione di tale teorema mi è indispensabile per poter proseguire nella comprensione di un altro argomento a cui é legato, che é la serie di taylor con resto di lagrange;
scusami se magari la mia domanda può essere banale ma personalmente una conferma mi può essere di aiuto.
Il fatto é che volevo rendermi conto del perché non é possibile trovare una regola generale per funzioni diverse delle parabole, a tal fine ho preso in considerazione una cubica $ y=x^3 $, nell'intervallo $ (x_0,x_0+h) $ e sono andato alla ricerca del punto $ x_1 $ interno a tale intervallo che sarà $ x_1=x_0+h_1 $, dove $ h_1 $
sarà il valore dell'incremento da ricercare, dopo semplici calcoli sono giunto alla seguente identità :
$ 6x_0h_1+3(h_1)^2=3x_0h+h^2 $, e da qui ho osservato che effettivamente non é possibile prendere un $ h_1 $ in funzione di$ h $ che soddisfi questa identità. Sicuramente però posso dedurre che esiste almeno un $ h_1<h $, che soddisfa tale identità. Ad esempio presa la funzione in questione $ y=x^3 $ ed l'intervallo $ (0,6) $ essendo $ x_0=0 $ ed $ h=6 $ avrò $ 3(h_1)^2=h^2 $ cioè $ 3(h_1)^2=36 $ e da qui $ h_1 $ uguale a due per radice di tre, ed essendo $ x_0=0 $ il punto $ x_1 $ cercato é proprio due per radice di tre. Inoltre ho fatto le seguenti osservazioni: se avessi scelto ad esempio l'intervallo $ (-2,2) $ allora in questo caso avrei sicuramente due punti interni che soddisfano lagrange, vero?
Se invece considero la funzione $ y=|x^3| $ in questo caso posso asserire che comunque preso un intervallo il punto ricercato che soddisfa lagrange é unico, lo stesso se considero $ y=x^2 $ vero?

Kopernik
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Re: teorema di lagrange

Messaggio da Kopernik » 01 mag 2013, 17:21

ierallo ha scritto:Si hai ragione, solo che ho iniziato da poco a studiare l'argomento, e la piena comprensione di tale teorema mi è indispensabile per poter proseguire nella comprensione di un altro argomento a cui é legato, che é la serie di taylor con resto di lagrange;
Figurati, il tuo impegno è lodevole.
Il fatto é che volevo rendermi conto del perché non é possibile trovare una regola generale per funzioni diverse delle parabole
Perché le parabole hanno delle proprietà di simmetria straordinarie, che in generale le altre funzioni non hanno. Punto.
Inoltre ho fatto le seguenti osservazioni: se avessi scelto ad esempio l'intervallo $ (-2,2) $ allora in questo caso avrei sicuramente due punti interni che soddisfano lagrange, vero?
Vero. Il numero di punti dipende dall'andamento della concavità della funzione considerata. Se la funzione cambia concavità, i punti possono aumentare in numero. La parabola ha concavità costante verso l'alto o verso il basso, quindi il punto è sempre unico.
Se invece considero la funzione $ y=|x^3| $ in questo caso posso asserire che comunque preso un intervallo il punto ricercato che soddisfa lagrange é unico, lo stesso se considero $ y=x^2 $ vero?
Sì, perché come detto sono funzioni che non cambiano la loro concavità.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

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