OliForum Matematico

Problemi interessanti si possono porre sulla somma delle cifre; in particolare uno si può chiedere se, data una sequenza crescente di numeri $a_n$, è vero che $s(a_n) \to \infty$ ? In particolare me lo chiedevo per i casi particolari

1) $a_n$ sono i numeri triangolari
2) $a_n=k^n$ per qualche $k$ che non sia potenza di $10$
3) $a_n={ {2n} \choose {n} }$
4) eccetera...

sapreste dimostrarlo per qualcuna di queste o sapete se c'è della ricerca su questo topic?

Il punto 2) sembra una diretta conseguenza del fatto che le potenze di $k$, per qualche $k$ che non sia potenza di $10$, possono cominciare con una qualsiasi sequenza di cifre.

Ido Bovski ha scritto:Il punto 2) sembra una diretta conseguenza del fatto che le potenze di $k$, per qualche $k$ che non sia potenza di $10$, possono cominciare con una qualsiasi sequenza di cifre.

sembra, ma non lo è. quello dimostra che c'è una sottosuccessione la cui somma delle cifre diverge, ma non ti dice nulla sulla maggioranza degli $a_n$.

nel frattempo per i numeri triangolari o qualsiasi successione della forma $ a_n= { n \choose k}$ mi pare che non funzioni, basta considerare i numeri $n$ della forma $n(h)=k! \cdot 10^h + k$ e si dovrebbe ottenere che , per $h$ abbastanza grande, $s(a_{n(h)})=C$ indipendentemente da $h$. Nel caso di $k=2$, cioé i numeri triangolari, dovrebbe bastare prendere $n=10^s$ e quindi $ \frac {n(n+1)}2 = 5 \cdot 10^{2s-1} + 5*10^{s-1}$, e quindi la somma delle cifre è $10$ per $s \geq 2$...

I risultati accessibili per via elementare che conosco sono
-$\displaystyle s(n!) \geq \left \lfloor \log n \right \rfloor$
-$\displaystyle s(2^n) \geq C \log n$

Il problema 2 dell'oliforum contest di quest'anno assicura che per ogni polinomio $P\in\mathbb{Q}[x]$ tale che $\forall x\in\mathbb{Z}:\ P(x)\in\mathbb{Z}$ non è vero che $s(P(n))\to \infty$ . (in realtà quel problema richiede $P\in\mathbb{Z}[x]$ ma è un attimo a ridursi a quel caso partendo da $\in\mathbb{Q}[x]$).

Per quanto riguarda il lato quantitativo della questione per i fattoriali, fry ha postato da poco math.NT/1409.4912.

Non è Carlein xd