somme delle cifre
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somme delle cifre
Problemi interessanti si possono porre sulla somma delle cifre; in particolare uno si può chiedere se, data una sequenza crescente di numeri $a_n$, è vero che $s(a_n) \to \infty$ ? In particolare me lo chiedevo per i casi particolari
1) $a_n$ sono i numeri triangolari
2) $a_n=k^n$ per qualche $k$ che non sia potenza di $10$
3) $a_n={ {2n} \choose {n} }$
4) eccetera...
sapreste dimostrarlo per qualcuna di queste o sapete se c'è della ricerca su questo topic?
1) $a_n$ sono i numeri triangolari
2) $a_n=k^n$ per qualche $k$ che non sia potenza di $10$
3) $a_n={ {2n} \choose {n} }$
4) eccetera...
sapreste dimostrarlo per qualcuna di queste o sapete se c'è della ricerca su questo topic?
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Re: somme delle cifre
Il punto 2) sembra una diretta conseguenza del fatto che le potenze di $k$, per qualche $k$ che non sia potenza di $10$, possono cominciare con una qualsiasi sequenza di cifre.
Re: somme delle cifre
sembra, ma non lo è. quello dimostra che c'è una sottosuccessione la cui somma delle cifre diverge, ma non ti dice nulla sulla maggioranza degli $a_n$.Ido Bovski ha scritto:Il punto 2) sembra una diretta conseguenza del fatto che le potenze di $k$, per qualche $k$ che non sia potenza di $10$, possono cominciare con una qualsiasi sequenza di cifre.
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Re: somme delle cifre
nel frattempo per i numeri triangolari o qualsiasi successione della forma $ a_n= { n \choose k}$ mi pare che non funzioni, basta considerare i numeri $n$ della forma $n(h)=k! \cdot 10^h + k$ e si dovrebbe ottenere che , per $h$ abbastanza grande, $s(a_{n(h)})=C$ indipendentemente da $h$. Nel caso di $k=2$, cioé i numeri triangolari, dovrebbe bastare prendere $n=10^s$ e quindi $ \frac {n(n+1)}2 = 5 \cdot 10^{2s-1} + 5*10^{s-1}$, e quindi la somma delle cifre è $10$ per $s \geq 2$...
Re: somme delle cifre
I risultati accessibili per via elementare che conosco sono
-$\displaystyle s(n!) \geq \left \lfloor \log n \right \rfloor$
-$\displaystyle s(2^n) \geq C \log n$
-$\displaystyle s(n!) \geq \left \lfloor \log n \right \rfloor$
-$\displaystyle s(2^n) \geq C \log n$
"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
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Re: somme delle cifre
Il problema 2 dell'oliforum contest di quest'anno assicura che per ogni polinomio $P\in\mathbb{Q}[x]$ tale che $\forall x\in\mathbb{Z}:\ P(x)\in\mathbb{Z}$ non è vero che $s(P(n))\to \infty$ . (in realtà quel problema richiede $P\in\mathbb{Z}[x]$ ma è un attimo a ridursi a quel caso partendo da $\in\mathbb{Q}[x]$).
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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Re: somme delle cifre
Per quanto riguarda il lato quantitativo della questione per i fattoriali, fry ha postato da poco math.NT/1409.4912.
Ultima modifica di <enigma> il 21 set 2014, 19:10, modificato 1 volta in totale.
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