Scommesse per raggiungere un numero

[<enigma>]

Facciamo un gioco. Voi partite da 0€, e ad ogni giro vi dò un numero reale casuale tra 0 e 1 (i numeri che vi assegno sono stocasticamente indipendenti) che potete sommare al vostro totale.

-Quanto vale il numero atteso di numeri che dovrò darvi perché la somma dei vostri numeri superi 1?

-E perché ecceda 2? E per 3?

-Sapete dare una buona approssimazione asintotica della quantità di numeri attesa per superare $n \in \mathbb N$?

(Nota: ci sono altri fatti molto interessanti che posterò dopo che qualcuno avrà trovato la soluzione dei primi due punti)