Una partizione che assomiglia a $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$

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Ido Bovski
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Una partizione che assomiglia a $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$

Messaggio da Ido Bovski »

Probabilmente ciò che sto per chiedere è elementare, nel dubbio lo piazzo qui.
Voglio partizionare l'insieme $\mathbb{Z}$ in $3$ classi, le chiamo $X$, $Y$, $Z$. Opero questa partizione in modo tale che se $x\in X$, $y\in Y$, $z\in Z$, allora
1. $x+y+z\in X$
2. $xy\in X$
3. $yz\in Z$.
La mia domanda è: posso affermare che l'unica partizione che posso effettuare è quella formata dalle classi di resto modulo $3$? Oppure mi serve qualche altra ipotesi?
Per il momento non sono riuscito a concludere nulla, soltanto che $Y$ è chiuso rispetto al prodotto e cosucce di poco conto.
dario2994
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Re: Una partizione che assomiglia a $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$

Messaggio da dario2994 »

Anche questa è soluzione: $Y,Z$ rispettivamente le classi $1,-1$ modulo $n$ generico e $X$ tutto il resto...

p.s. e queste secondo me sono tutte
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Ido Bovski
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Re: Una partizione che assomiglia a $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$

Messaggio da Ido Bovski »

dario2994 ha scritto:Anche questa è soluzione: $Y,Z$ rispettivamente le classi $1,-1$ modulo $n$ generico e $X$ tutto il resto...
Già, mi era sfuggito :)
dario2994 ha scritto:e queste secondo me sono tutte
Hai in mente una dimostrazione?

p.s. se non si fosse capito, il problema è own.
dario2994
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Re: Una partizione che assomiglia a $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$

Messaggio da dario2994 »

Quella che segue è un abbozzo di dimostrazione... e in quanto tale è da prendere con le pinze! Mi pare sia giusta... ma chi può dirlo? E lascio molto al lettore :P
Va detto che l'unica ipotesi che davvero uso è la 1) le altre servono giusto per ricavare fatti secondari... è la 1) a dare una bella struttura alle soluzioni non degeneri.

Lemma che non mi rompete Siano $a_1,a_2,\dots ,a_n\in \mathbb{Z}$ (di cui almeno uno positivo e almeno uno negativo) tali che $\gcd(a_1,a_2,\dots ,a_n)=d$. Siano belli i numeri che si esprimono come $a_1b_1+a_2b_2+\dots a_nb_n$ con $b_i\in\mathbb{N}\ \forall 1\le i\le n$. Dimostrare che $d|n \iff n$ bello.
Dim. La dimostrazione è facile per $n=2$, e per n generico segue banalmente da $n=2$.

Assumo che $X,Y,Z$ non siano vuoti.
Sia $A=\{y+z|y\in Y\wedge\ z\in Z\}$.

Voglio che $A$ abbia almeno un elemento negativo e almeno uno positivo. Questo è un po' una palla e bisogna dividere in qualche caso ma mi pare che sia vero.

Sia $d$ il gcd di tutti i numeri in $A$. È abbastanza facile dimostrare che esiste un sottinsieme finito di $A$ con gcd $=d$, aggiungo a questo sottinsieme almeno un numero negativo e almeno uno positivo (se non ci sono già), tanto il gcd non cambia. Allora applico il lemma che non mi rompete a questo sottinsieme e ottengo che $d|n\iff n$ è esprimibile come somma di elementi in $A$.
Definisco fichi tutti i numeri $n$ tali che $\exists x\in X: n\equiv x\pmod d$. Allora per quanto detto qui sopra unito alla 1) ho che $n\in X\iff n$ è fico!

Poi ho per la definizione stessa di $d$ che dati $y_1,y_2 \in Y$ vale $y_1\equiv y_2\pmod d$. Facilmente ho $1\in Y$ (uso la 2 o la 3) e quindi arrivo a $\forall y\in Y: y\equiv 1\pmod d$. Da questo ricavo anche $\forall z\in Z: z\equiv -1\pmod d$.

Se $d=1$ risulta $Y,Z$ vuoti oppure $X$ vuoto, che è assurdo.
Se $d=2$ quanto detto qui sopra implica che $X$ è composto da tutti e soli i pari e $Y,Z$ si spartiscono i dispari in modo che sia rispettata la 3) (vedere la parte finale per queste soluzioni).
Se $d\ge 3$ quanto detto qui sopra implica più o meno banalmente che $Y$ è composto dalla classe dei congrui a 1 modulo $d$, $Z$ da quelli congrui a -1 e $X$ da tutti gli altri.

Se $Y$ è vuoto mi cadono sia la 1) che la 2) che la 3) quindi $X,Z$ possono essere una qualsiasi partizione di $\mathbb{Z}$.
Se $X$ o $Z$ sono vuoti ricado nella stessa situazione di $d=2$ come sopra... cioè voglio partizionare gli interi in 2 insiemi $U,V$ in modo che $uv\in V\ \forall\ u\in U\wedge v\in V$... che non mi sembra molto interessante (e genera soluzioni a valanga mi pare).
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Simo_the_wolf
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Re: Una partizione che assomiglia a $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$

Messaggio da Simo_the_wolf »

Uhm mi starò sbagliando ma.... se prendessi $ Y=\{ 1 \} $, $ Z=\{-1\} $ e $ X $ tutto il resto? Oppure $ Y=\{ 1 \} $ e $ Z $ e $ X $ si spartiscono delle classi modulo N in modo da verificare la 1?
dario2994
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Re: Una partizione che assomiglia a $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$

Messaggio da dario2994 »

Simo_the_wolf ha scritto:Uhm mi starò sbagliando ma.... se prendessi $ Y=\{ 1 \} $, $ Z=\{-1\} $ e $ X $ tutto il resto?
Su questo hai ragione ed è uno dei casi (chissà quanti :P ) in cui $A$ non ha elementi negativi.
Oppure $ Y=\{ 1 \} $ e $ Z $ e $ X $ si spartiscono delle classi modulo N in modo da verificare la 1?
Questa invece credo non generi soluzioni, perchè in questo caso mi pare si riesca a dimostrare che $A$ c'ha elementi negativi
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