Ricerca di una funzione

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petroliopg
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Ricerca di una funzione

Messaggio da petroliopg » 29 nov 2012, 15:24

Devo trovare una QUALSIASI funzione [edit]CONTINUA che abbia le seguenti proprietà:
$\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
$\displaystyle \nexists lim_{x \to \infty} f(x)$
$\displaystyle \int_{o}^{\infty} f(x) dx = c \in \mathbb{R}$

sarebbe carino trovare delle specie di funzioni che hanno queste proprietà; non so neanche se esistano sinceramente, è un problema che mi hanno proposto ma non ho saputo fare.

[edit] ho visto che avevo scritto da cani, e non avevo completato le condizioni
scusate, saluti XD
Ultima modifica di petroliopg il 01 dic 2012, 11:51, modificato 1 volta in totale.
Sensi non ho; né senso. Non ho limite.
Montale

$ \displaystyle i \hbar \dot {\psi} = \hat{H} \psi $

ndp15
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Re: Ricerca di una funzione

Messaggio da ndp15 » 30 nov 2012, 14:07

Esempio semistupido: $ \displaystyle f(x)=0\ \forall x $ ad esclusione degli interi dove vale $ 1 $. Si può migliorare chiedendo condizioni più forti sulla $ f $ (continua, che l'integrale possa essere qualsiasi $ c $, etc.)

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petroliopg
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Re: Ricerca di una funzione

Messaggio da petroliopg » 01 dic 2012, 11:49

oh sì, scusate, era anche nell'ipotesi iniziale la continuità, mannaggia alla fretta

modifico subito XD
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Simo_the_wolf
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Re: Ricerca di una funzione

Messaggio da Simo_the_wolf » 01 dic 2012, 16:40

uhm, la funzione $ sin(x^2) $ potrebbe fare al tuo caso... chiaramente non ha limite, ma l'integrale ha senso (almeno nel senso di Riemann) ed è finito in quanto viene una cosa tipo criterio di Leibenitz (altrimenti facendo per parti o sostituzione mi pare si veda chiaramente che funzia).

Se invece consideri l'integrale di Lebesgue bisogna stare attenti... questo metodo non funziona, serve che il modulo della funzione sia integrabile. In questo caso conviene fare una cosa del genere: prendi f(x) che tra n e n+1/n^2 fa un dente di sega che sia alto 1 e quindi abbia area 1/2n^2, e la estendi a 0 altrove. In questo modo l'integrale è finito (fa pi^2/12) mentre oscilla chiaramente tra 0 e 1.

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