binomio di newton

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ierallo
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binomio di newton

Messaggio da ierallo » 06 nov 2012, 12:07

Volevo provare a dimostrare che $ (1+x)^a $ con $ a=1/2 $ risulta uguale ad $ 1+(1/2)(x)-(1/8)(x^2)+(1/16)(x^3)-(5/32)(x^4)+.... $;
facevo il seguente ragionamento, se considero $ (1+(1/2)x)^2 $ avrei semplicemente sviluppando $ (1+x+(1/4)(x^2)) $, cioé una espressione polinomiale finita, da ciò ho dedotto che effettivamente deve trattarsi di una serie infinita, e che sicuramente i primi due termini di questa serie devono essere $ 1+1/2(x)+..... $, dopo però non saprei come continuare per ricavare gli altri termini della serie, potreste darmi qualche delucidazione a riguardo?
Il problema che ho posto riguarda la dimostrazione più generale che diede newton dello sviluppo del binomio $ (1+x)^a $ con $ a $ non intero ed $ -1<x<1 $ cioè $ x $ compreso in tale ranch.
Grazie, e resto in attesa di una risposta.

ma_go
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Re: binomio di newton

Messaggio da ma_go » 06 nov 2012, 12:59

ierallo ha scritto:(...) ed $ -1<x<1 $ cioè $ x $ compreso in tale ranch.
suppongo volessi dire range, anziché ranch...

comunque, la risposta ai tuoi problemi si chiama sviluppo di taylor.
credo che nel caso $a=1/2$ si possa anche continuare induttivamente col ragionamento che hai cominciato tu, solo che la cosa si complica abbastanza presto (cioè, i conti non sono ovvissimi da portare avanti, se non hai già un'idea di come vadano le cose).
in linea di principio, hai un polinomio $P_d$ di grado $d$, e sai che questo approssima $(1+x)^{1/2}$ "abbastanza bene", nel senso che $$P_d^2(x) = 1+x + o(x^d) = 1+x+A_{d+1}x^{d+1}+o(x^{d+1}).$$ adesso vuoi trovare un polinomio $P_{d+1}$ di grado $d+1$ che approssimi la radice un po' meglio (a meno di $o(x^{d+1})$): come fare?
beh, prendi $P_{d+1}(x) = P_d(x)+a_{d+1} x^{d+1}$, e sviluppa $P_{d+1}^2$: puoi scrivere $$P_{d+1}^2(x) = P_d^2(x)+2a_{d+1}x^{d+1}P_d(x) + a^2_{d+1}x^{2d+2} = 1+x+A_{d+1}x^{d+1}+o(x^{d+1})+2a_{d+1}x^{d+1}(1+o(1)) + o(x^{d+1}),$$ da cui $a_{d+1} = -A_{d+1}/2$. la difficoltà sta ora nel capire cos'è $A_{d+1}$, e per fare questo devi conoscere tutti i coefficienti di $P_d$..
qui uno si può divertire, fare un po' di conti su cosa gli viene all'inizio, e poi provare ad indurre (e l'induzione non dovrebbe essere particolarmente difficile).

ierallo
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Re: binomio di newton

Messaggio da ierallo » 12 nov 2012, 11:16

Intanto grazie per la risposta!
Se procedessi secondo lo sviluppo di taylor, avrei, sempre per $ a=1/2 $:
$ (1+x)^a=1+ (1/2)x - (1/8)x^2 + (1/16)x^3 - (5/128)x^4 +......... $, ora mi chiedevo, per la sussistenza di questa uguaglianza, il quadrato della somma algebrica dei termini di questa serie infinita deve tendere ad $ (1+x) $, man mano che considero sempre un maggior numero di termini, al limite dovrei avere $ lim (1 +(1/2)x - (1/8)x^2 + .........)^2=(1+x) $, se per esempio mi arresto ai primi tre termini della serie avrò $ (1+ (1/2)x - (1/8)x^2)^2= (1 + x +(1/4)x^2 + (1/64)x^4 - (1/4)x^2 - (1/8)x^3 = (1 + x + (1/64)x^4 - (1/8)x^3) $, pertanto mi aspetterei,affinchè questa serie infinita converga verso $ (1+x) $, che man mano che ho un sempre maggior numero di termini , tralasciando i termini $ (1 +x) $ a secondo membro di questa uguaglianza, la somma algebrica dei rimanenti termini deve tendere a zero cioè ad annullarsi!
Ora la mia domanda è come faccio a dimostrare che questo effettivamente avviene, e quindi la suddetta serie è convergente?
Essendo alle prime armi con questo argomento, posso anche aver scritto delle proposizioni poco sensate, nell'eventualità mi scuso anticipatamente, avendo trovato l'argomento nel materiale da me consultato molto ostico, spero in un vostro aiuto
chiarificante.
Resto in attesa di una risposta.
Saluti!

ma_go
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Re: binomio di newton

Messaggio da ma_go » 12 nov 2012, 17:25

ierallo ha scritto: (...) ora mi chiedevo, per la sussistenza di questa uguaglianza, il quadrato della somma algebrica dei termini di questa serie infinita deve tendere ad $ (1+x) $, man mano che considero sempre un maggior numero di termini, al limite dovrei avere $ lim (1 +(1/2)x - (1/8)x^2 + \dots )^2=(1+x) $ (...)
no. la sussistenza di quell'uguaglianza è garantita dai teoremi di convergenza della serie di taylor alla funzione che vuoi approssimare.

in ogni caso, se prendi una serie di potenze, il raggio di convergenza del suo quadrato è maggiore o uguale al raggio di convergenza della serie iniziale. se fai i conti con cura, quindi, la serie di potenze che ottieni elevando al quadrato lo sviluppo di taylor di $(1+x)^{1/2}$ è effettivamente $1+x$ (come serie di potenze), e l'identità tra le due cose ha senso (come funzioni di una variabile reale) solo per $|x|\le 1$.

ierallo
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Re: binomio di newton

Messaggio da ierallo » 14 nov 2012, 16:30

Da quel poco che ho capito, elevando al quadrato la somma algebrica di un sempre maggior numero di termini dela serie di taylor precedentemente considerata avrò un risultato sempre più approssimato ad $ 1+x $, cioè con un grado di approssimazione migliore, chiaramente con $ -1<x<1 $, in quanto diversamente il segno di uguaglianza perderebbe significato, in quanto credo non ci sarebbe pìù la sicurezza della convergenza.
Mi chiedevo se uno non conosce taylor ,come nel mio caso, e vorrebbe sviluppare un espressione, in qualche modo, come potrebbe fare?

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