Una bella funzione ha delle derivate buone!

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dario2994
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Una bella funzione ha delle derivate buone!

Messaggio da dario2994 »

Sia $A=[a,\infty)$ un intervallo con $a\in\mathbb R$, e sia $g:A\to \mathbb R$ una funzione.
Definisco $g$ buona sse $\exists k\in A$ tale che $\forall x>k:\ g(x)>0$.
Definisco $g$ bella sse $ \displaystyle \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty $.

Sia $f:A\to \mathbb R$ una funzione derivabile $n$-volte. Quante delle $n$ derivate devono essere buone per essere certi che $f$ sia bella? (sempre che esista tale numero!)

p.s. il problema non è difficile e me lo sono inventato.
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Epimenide
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Re: Una bella funzione ha delle derivate buone!

Messaggio da Epimenide »

"Sia $A=[a,\infty)$ un intervallo con $a\in\mathbb R$, e sia $f:A\to \mathbb R$ una funzione derivabile $n$ volte, qual è il minimo $m$ per il quale tutte le derivate di ordine $\le m$ devono essere strettamente positive da un certo $k$ in poi, affinché la funzione risulti superiormente illimitata?"

Direi che è sufficiente che derivata prima e derivata seconda siano strettamente positive da $k$ in poi. Se $f'$ lo è la funzione è strettamente crescente, ma potrebbe essere limitata ($f'$ che tende a zero), se anche $f''$ soddisfa la condizione, la derivata prima è strettamente crescente, quindi anche se quest'ultima fosse limitata, $f$ potrebbe al massimo avere un asintoto obliquo (se $f''$ tende a zero), ma in ogni caso soddisfa la richiesta.
dario2994
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Re: Una bella funzione ha delle derivate buone!

Messaggio da dario2994 »

Non capisco... il problema chiede una cosa diversa!
Io chiedo quale è il minor numero $k$ tale che se almeno $k$ delle $n$ derivate sono buone allora $f$ è bella.
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EvaristeG
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Re: Una bella funzione ha delle derivate buone!

Messaggio da EvaristeG »

Epimenide, dario non chiede "le prime $m$", ma "qualsiasi $m$"...
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<enigma>
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Re: Una bella funzione ha delle derivate buone!

Messaggio da <enigma> »

Boh, un'idea buttata lì (anche se non mi convince troppo): $x \mapsto e^{-1/x}$ ha le derivate dispari buone ma non è bella dunque $k$ è almeno $n/2$; d'altra parte se è maggiore per pigeonhole almeno due derivate successive, $h$ e $h'$, sono buone, e per l'osservazione di Epimenide $\int h$ è bella e buona, e allo stesso modo lo sono $\iint h, \dots, f$.
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dario2994
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Re: Una bella funzione ha delle derivate buone!

Messaggio da dario2994 »

Stringato è stringato... ma anche corretto :)
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