Analisi Mat. I: caccia all'errore

[SARLANGA]

Ciao,
stavo rispolverando i miei appunti di Analisi Matematica I, quando ho trovato alcuni punti che non mi convincevano. Nelle seguenti proposizioni, se è vero che sono vere, perchè lo sono? E se è vero che sono false, è vera la spiegazione che do? cioè, è giusto l'errore?

Prop.1: Condizione necessaria affinchè $ f $ sia iniettiva è che sia continua e definita in un intervallo del suo dominio$ Dom(f) $.
Errore: non dovrebbe essere $ f^-1 $ continua e definita in un intervallo del codominio $ Im(f) $?

Prop.2: Se in un punto $ x_0 $ esistono i limiti $ \displaystyle lim_{h\rightarrow 0^{\pm}} {\frac {f(x_0 + h) - f(x_0)} {h}} $ , di cui almeno uno è reale, allora $ x_0 $ è un punto angoloso.
Errore: non manca l'aggettivo "diversi" dopo "esistono"?

Infine, avrei una domanda riguardante il polinomio di Taylor: una volta trovati i coefficienti del polinomio di grado n, e definito il resto di grado n come $ R_n = f(x) - p_n (x) $ con $ \displaystyle lim_{x \rightarrow x_0} {R_n (x)} = 0 $, perchè dovrebbe essere il resto un infinitesimo di ordine superiore a $ (x - x_0)^n $?

Ringrazio tutti per l'attenzione,

SARLANGA

[ndp15]

Prop.1: Condizione necessaria affinchè $ f $ sia iniettiva è che sia continua e definita in un intervallo del suo dominio$ Dom(f) $.
Errore: non dovrebbe essere $ f^-1 $ continua e definita in un intervallo del codominio $ Im(f) $?

Cosa intendi per $ f^-1 $?

Prop.2: Se in un punto $ x_0 $ esistono i limiti $ \displaystyle lim_{h\rightarrow 0^{\pm}} {\frac {f(x_0 + h) - f(x_0)} {h}} $ , di cui almeno uno è reale, allora $ x_0 $ è un punto angoloso.
Errore: non manca l'aggettivo "diversi" dopo "esistono"?

Sì. La definizione di punto angoloso non credo sia unica comunque, ad esempio quel "di cui almeno uno è reale" , può essere un "entrambi reali"

Infine, avrei una domanda riguardante il polinomio di Taylor: una volta trovati i coefficienti del polinomio di grado n, e definito il resto di grado n come $ R_n = f(x) - p_n (x) $ con $ \displaystyle lim_{x \rightarrow x_0} {R_n (x)} = 0 $, perchè dovrebbe essere il resto un infinitesimo di ordine superiore a $ (x - x_0)^n $?

In che senso perché? C'è una dimostrazione che ti dice ciò. Non l'hai capita e vuoi spiegazioni oppure non ho capito io la tua domanda?

[fph]

Per la domanda 3, nulla da aggiungere a quello che ha scritto ndp15. La prop. 1 non vedo modo di aggiustarla. Qualunque enunciato leggermente modificato che provo a dare è comunque clamorosamente falso. La prop. 2 in pratica è una definizione di "punto angoloso", quindi non ha senso chiedersi se è vera o falsa. Non c'è neppure una definizione standard di "punto angoloso" con cui confrontarla. In ogni caso se hai già dato analisi 1 ti consiglio di dimenticarti concetti come questi: parlare di "punti angolosi" e cercare (invano) di classificare le varie discontinuità e patologie delle funzioni non serve a nulla ed è entomologia più che matematica (senza offesa per gli entomologi).

[SARLANGA]

Cosa intendi per $ f^-1 $?

Intendevo la funzione inversa, ma mi ha già rassicurato fph.

In che senso perché? C'è una dimostrazione che ti dice ciò. Non l'hai capita e vuoi spiegazioni oppure non ho capito io la tua domanda?

Siccome non l'ho trovata la dimostrazione di questo, mi chiedevo perché il resto R dovesse essere un $ o((x - x_0)^n) $. Dal momento che sembra una dimostrazione abbastanza semplice, c'è qualcuno che me la può indicare gentilmente?

[fph]

Usa de l'Hopital $n$ volte su $$\frac{f(x)-p_n(x)}{(x-x_0)^n}$$.

[Robertopphneimer]

Per la domanda 3, nulla da aggiungere a quello che ha scritto ndp15. La prop. 1 non vedo modo di aggiustarla. Qualunque enunciato leggermente modificato che provo a dare è comunque clamorosamente falso. La prop. 2 in pratica è una definizione di "punto angoloso", quindi non ha senso chiedersi se è vera o falsa. Non c'è neppure una definizione standard di "punto angoloso" con cui confrontarla. In ogni caso se hai già dato analisi 1 ti consiglio di dimenticarti concetti come questi: parlare di "punti angolosi" e cercare (invano) di classificare le varie discontinuità e patologie delle funzioni non serve a nulla ed è entomologia più che matematica (senza offesa per gli entomologi).

A volte mi chiedo quanta entomologia serva ad analisi...è solo un modo per fissare le idee e comunicare niente di costruttivo dal punto di vista logico e operativo.

[EvaristeG]

serva, piuttosto... comunque, a difesa dei vari testi di analisi, più nomi e definizioni si danno, più è facile insegnare la materia e impararla meccanicamente, cosa che capita spesso alle superiori e alle facoltà scientifiche in cui la matematica è (giustamente) un mezzo e non un fine.

[Robertopphneimer]

Chiedo venia per l'errore, comunque il tuo discorso verte sul concetto "studiare ciò che serve" il che implica che alcune facoltà scientifiche necessitano solo di una matematica meccanica ?

[EvaristeG]

il che implica che ti serve saper usare la matematica e non saperla fare. Ad un ingegnere non serve saper fare dimostrazioni, ma conti. Ad un biologo serve saper leggere e condurre statistiche, non la dimostrazione del cambio di variabili in integrale multiplo.

[Robertopphneimer]

il che implica che ti serve saper usare la matematica e non saperla fare. Ad un ingegnere non serve saper fare dimostrazioni, ma conti. Ad un biologo serve saper leggere e condurre statistiche, non la dimostrazione del cambio di variabili in integrale multiplo.

Non fa una piega.