sottomonoidi liberi di gruppi

[bestiedda]

Buonasera a tutti

Sto cercando di capire se è vera o falsa la seguente affermazione:

Sia G un gruppo. Sia M un sottomonoide di G. Se M è un monoide libero, allora il sottogruppo di G generato da M è un gruppo libero?

La proprietà è evidentemente vera per il monoide libero di rango 1 (identificabile con (N,+): difatti il gruppo più piccolo che contiene N è Z che è proprio il gruppo libero di rango 1. Ma per quanto riguarda ranghi maggiori?